Непрерывность обратной функции

Пусть -- функция, непрерывная на отрезке . Предположим, что монотонна на ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из следует, что . Тогда образом отрезка будет отрезок , где и (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между и значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к функция функция, действующая из в . Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция тоже была бы монотонно убывающей.)

Теорема 3.11 Пусть -- непрерывная монотонная функция, , . Тогда обратная к функция непрерывна на отрезке .

Доказательство. Во-первых, заметим, что если , , то .

Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию , которая определена при . Очевидно, что -- непрерывная на функция, поэтому она принимает наименьшее значение в некоторой точке :

Таким образом, если , то , то есть если , то . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа найдётся число , такое что при выполняется неравенство . (При этом , , , .) Получили, что функция удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке ; тем самым доказано утверждение теоремы.

Непрерывность сложной функции.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции и определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и f и обозначают .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке .

○ Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число такое, что и

(2)

где .

В силу непрерывности функции в точке для найденного в (2) числа

можно указать число такое, что

(2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве определена сложная функция , причём

,

где , т.е.

.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция непрерывна в точке .●

49)

Непрерывность элементарных функций

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 +... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция . При возрастании x от 0 до возрастает или убывает на интервале . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции , , , , , . Остановимся на функции . Ее непрерывность на отрезке вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку . Следовательно, функция непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций . Исключение для первых двух функций - значения x вида , при которых , для других двух - значения вида , при которых .

Обратные тригонометрические функции , , , . Первые две непрерывны на , остальные - на

50)

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.