ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ 





Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ



Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

<< Пример 21.1

Найти производную функции у, заданную уравнением х33-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х33-3ху=0. Из полученного соотношения

2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х).

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть

Найти у'х.

Решение: Имеем x't=3t2, y't=2t. Следовательно, у'х=2t/t2, т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е.

60)

Понятие дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке xсуществует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

(1)

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

(2)

(величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

(3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке xи обозначают

или

Следовательно,

(4)

или

(5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

(6)

или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину .

61)

Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Следствие 2.4.1.

dz = F′(y0)dy = Φ′(x0)dx.

В зтой формуле dy = f′(x)dx является дифференциалом функции, а dx дифференциалом независимой переменной.

– 75 –Таким образом, дифференциал функции z имеет один и тот же вид (а именно, произведение производной функции на дифференциал переменной) независимо от того, считается ли эта переменная независимой (dz = Φ′(x0)dx) или она является функцией (dz = F′(y0)dy). В этом и заключается инвариантность формы дифференциала (первого порядка).

Замечание 2.4.2. Если приходится иметь дело со сложной функцией z =z(y), y = y(x), то для обозначения ее производной употребляется также индекс x или y, указывающий, по какой переменной берется производная, т.е. пишут z′x или z′y. В этих обозначениях формула для вычисления производной сложной функции имеет вид z′x = z′yy′x.

62)





Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; просмотров: 2960; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.161.24.9 (0.006 с.)