Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

 

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

 

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

 

• найти область определения функции;

 

• найти производную функции;

 

• решить неравенства и на области определения;

 

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

67)

7) Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение, что для любого справедливо неравенство.

Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение, что для любого справедливо неравенство.

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе.

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

68)

Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [ a; b ] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x ₁ и x ₂ из этого отрезка

График 3.2.3.1. Выпуклая вверх функция.

Другими словами, если для любых точек x ₁ и x ₂ отрезка [ a; b ] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

Если то – точка перегиба функции f (x).

 

В заключение приведем примеры, когда точка x ₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

• если функция разрывна в точке (например );
• в случае угловой точки (например,

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции

69)

Тема № 8. Асимптоты

Определение 1. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при или .

Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов
f (а + 0), f (а – 0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Пример 24. Найти вертикальные асимптоты функции

.

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точках х = – 1, х = +1. Значит функция в этих точках не определена. Классифицируем разрыв, вычислив односторонние пределы. Эту работу можно уменьшить, если учесть чётность функции:
у (– х) = у (х) (см. рис. 25). Исследуем только одну из точек разрыва, например,
х = – 1:

,

.

Следовательно, прямые х = – 1, х = 1 – вертикальные асимптоты.

Прямая у = b называется горизонтальной асимптотой, если выполняется условие .

В частности, это полупрямая у = b при или .

Так в примере 23 функция имеет горизонтальную асимптоту у = 0, так как (см. рис. 25).

Определение 2. Прямая у = k х + b называется наклонной асимптотой графика функции f (х) при , если эту функцию можно представить в виде:

f (х) = kх + b + a (х), где .

То есть разность a (х) между ординатами точек кривой и асимптоты при () есть величина бесконечно малая.

Теорема. Чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:

, , (21)

причём при и при эти пределы могут быть неравными, то есть кривая может иметь различные асимптоты при и .

Если k = 0, , уравнение асимптоты принимает вид

у = b, то есть получаем уравнение горизонтальной асимптоты.

Пример 25. Найти асимптоты графиков функций:

25.1. ; 25.2. .

Решение

25.1. Функция не определена в точке х = 3 (знаменатель дроби равен нулю). Классифицируем разрыв с помощью односторонних пределов:

, .

Значит, функция в точке х = 3 терпит бесконечный разрыв и через эту точку проходит вертикальная асимптота х = 3. Найдём наклонную асимптоту, используя соотношения (21)

, .

Получили горизонтальную асимптоту у = 1. Строим график функции, подсчитав ориентировочную точку (6,2) (см рис. 26).

25.2. Функция разрывна в точке х = 2.

Вычисляем односторонние пределы:

; .

Значит, х = 2 – уравнение вертикальной асимптоты. Ищем уравнение наклонной асимптоты в виде у = k х + b:

;

 

Уравнение асимптоты (см. рис. 27).

Проверка. Согласно определению, функцию можно представить в виде . Проверим это, выделив целую часть дроби. Разделим числитель на знаменатель:

, .

70)