Лассификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

51)

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [ а, b ], если она непрерывна в каждой точке интервала (а, Ь) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

а) Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена, т. е. (3)

- Предположим противное, тогда (4)

Полагая в (4) С = 1, 2,..., n,..., получим, что (5)

Последовательность ограничена, так как для всех . По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследовательность и точка такие, что

, (6)

где в силу условия (5) для любого выполняется неравенство

. (7)

Из условий (6) и (7) следует, что [а, b], а из условия (6) в силу непрерывности функции f в точке получаем

. (8)

С другой стороны, утверждение (5) выполняется при всех и, в частности, при n = (k =1,2,...), т. е.

,

откуда следует, что , так как при .

Это противоречит равенству (8), согласно которому последовательность { } имеет конечный предел. Поэтому условие (4) не может выполняться, т. е. справедливо утверждение (3).●

б) Достижимость точных граней.

Теорема 4 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [а,b], то она достигает своей точной верхней и нижней грани,

т. е.

= (9)

= . (10)

○ Так как непрерывная на отрезке функция f (x) ограничена (теорема 3), т. е. множество значений, принимаемых функцией f на отрезке [а, b], ограничено, то существуют и .

Докажем утверждение (9). Обозначим М = . В силу определения точной верхней грани выполняются условия (11)

(12)

Полагая = 1, , ,..., ,..., получим в силу условия (12) последовательность , где , такую, что для всех выполняются условия

(13)

f()>M - . (14)

Из соотношений (11), (13) и (14) следует, что

откуда получаем

. (15)

Как и в теореме 3, из условия (13) следует, что существуют подпоследовательность { } последовательности { } и точка такие, что

, где [а, Ь].

В силу непрерывности функции f в точке

. (16)

С другой стороны, { )} — подпоследовательность последовательности { }, сходящейся, согласно условию (15), к числу М.

Поэтому

. (17)

В силу единственности предела последовательности из (16) и (17)

заключаем, что f () = М = . Утверждение (9) доказано.

Аналогично доказывается утверждение (10). ●

 

в) Промежуточные значения.

Теорема 5 (теорема Коши о нулях непрерывной функции). Если функция f непрерывна на отрезке [а, b] и принимает в его концах значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < 0, то на отрезке [а,b] имеется

хотя бы один нуль функции f, т. е. (18)

О Разделим отрезок [а, b] пополам. Пусть d — середина этого отрезка. Если f(d) = 0, то теорема доказана, а если , то в концах одного из отрезков [a, d], [d,b] функция fпринимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок . Пусть — середина отрезка Возможны два случая:

1. , тогда теорема доказана;

2. , тогда в концах одного из отрезков , функция f принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим .

Продолжая эти рассуждения, получим:

1)либо через конечное число шагов найдется точка такая, что f(с) = 0; тогда справедливо утверждение (18);

2)либо существует последовательность отрезков такая, что для всех , где An = [an,bn]; эта последовательность отрезков является стягивающейся, так как для любого

и (19)

По теор. Кантора существует точка с, принадлежащая всем отрезкам последовательности, т. е.

. (20)

Докажем, что f(с) = 0. (21)

Предположим, что равенство (21) не выполняется. Тогда либо f(с) > 0, либо f(с) < 0. Пусть, например, f(с) > 0. По свойству сохранения непрерывной функцией знака

. (22)

С другой стороны, из неравенства (19) следует, что при , и поэтому

. (23)

Так как с в силу условия (20), то из (23) следует, что и согласно условию (22) во всех точках отрезка функция f принимает положительные значения. Это противоречит тому,

что в концах каждого из отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться условие (21). •

52)

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Рассмотрим произвольную внутреннюю точку x 0 области определения функции y = f(x).

 

Разность

где x - также внутренняя точка области определения, называется

 

приращением аргумента в точке x0. Разность

называется

 

приращением функции в точке x0, соответствующим приращению

и обозначается

 

 

Производной функции y = f (x) в точке x0 называется предел отношения приращения

 

функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е.

Геометрический:

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки –известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t ₀ до t ₀ + точка перемещается на расстояние: x (t ₀ + ) - x (t ₀) = , а её средняя скорость равна: v_a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t ₀) материальной точки в момент времени t ₀. Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t ₀) = x’ (t ₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).

53)

Функции одной переменной

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке своей области определения , если существует такая константа , что для любой точки верно

при этом число неизбежно равно производной

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, она имеет производную в этой точке.

График функции представляет собой кривую на плоскости , а график линейной функции

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке .

Напр., функция определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

.

При этом её производная есть , а уравнение касательной прямой, проведённой в точке , имеет вид: .

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Напр., функция является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку , в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке , является вертикальной прямой и поэтому производная функции бесконечно велика в точке , а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу, и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр.,функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке^[6]. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений меры нуль.