Свойства функций, непрерывных на множестве

Теорема 1. Сумма и произведение конечного числанепрерывных на некотором множестве функций есть функция, непрерывная на этом множестве.

Доказательство (следует из основных теорем о пределах).

Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в точке х ₀, тогда

, ,

.

Следовательно, функция y=f(x)+g(x) непрерывна в точке х ₀.

Доказательство для произведения функций проводится аналогично.

Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных на множестве функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

 

Точки разрыва функции

Функция является непрерывной в точке, если

ó = .

Определение 1. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.

Определение 2. Точка разрыва х ₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределыв этой точке.

Определение 3. Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва, если односторонние пределы в этой точке равны.

Определение 4. Скачком функции в точке разрыва первого рода называется модуль разности односторонних пределов в этой точке.

Определение 5. Точка х ₀ называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен +¥(-¥)).

Пример 1. ,

,

х =3 – точка устранимого разрыва.

Функцию можно доопределить до

непрерывной функции:

ó y=x+ 3 - непрерывная функция.

 

 

Пример 2. y =[ x ] – целая часть числа.

Рассмотрим точку х =1.

,

.

Следовательно, х =1 – точка разрыва первого рода, скачок в ней равен единице.

Пример 3. Рассмотрим функцию в точке х =0.

0, +¥,

Следовательно, х =0 – точка разрыва второго рода.

 

Производная

 

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b), пусть . Дадим в точке х ₀ приращение аргументу Dх так, что точка х ₀+ Dх . Тогда функция получит соответствующее приращение Dу=f(x ₀ +Dx)-f(x ₀ ).

Определение 1. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х ₀.

.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой на множестве А Ì R, если она дифференцируема в каждой точке множества А.

 

Геометрический смысл производной

Определение 1. Касательной к плоской кривой называется предельное положение секущей, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к первой точке.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b), . Дадим приращение аргументу Dх так, что точка х ₀+ Dх . Функция получит приращение Dу=f(x ₀ +Dx)-f(x ₀ ).

Проведем секущую к графику через точки А (х ₀, f(x ₀ )), В (x ₀ +Dx, f(x ₀ +Dx)).

 

 

Рассмотрим DABC. , .

При

,

секущая стремится к касательной,

,

,

.

Переходя к пределу при в равенстве , получим

.

 

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

Связь между непрерывностью

И дифференцируемостью функции

 

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х ₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х ₀.

Следствие. Если х ₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х|, х ₀ = 0.

х> 0, ;

Dх< 0, .

В точке х ₀ = 0функция непрерывна, но производной не существует.

 

Свойства производных

 

Теорема 1. Производная постоянной функции равна нулю.

Доказательство. f(x)=c,"x ₀ Dy=f(x ₀ +Dx) - f(x ₀ )=c-c=0,

.

Теорема 2. Если функции u, v, w дифференцируемы в некоторой точке, то и их алгебраическая сумма также дифференцируема в этой точке, причем производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных и выполняется равенство

.

Теорема 3. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке, то и их произведение также дифференцируемо в этой точке, причем выполняется равенство

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

.

Теорема 4. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке и функция v в этой точке отлична от нуля, то существует производная частного в этой точке, причем

.

Теорема 5 (производная сложной функции). Если функции y=f(z) и - дифференцируемые функции своих аргументов, то и их композиция является дифференцируемой функцией, причем производная сложной функции равна производной внешней функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

.

Теорема 6 (теорема Лагранжа). Конечное приращениедифференцируемой функции равно произведению соответствующего приращения аргумента на производную функции в некоторой промежуточной точке.

.

Теорема 7 (теорема Ролля). Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы один ноль производной.

Доказательство. Пусть f(x ₁ )=f(x ₂ )= 0. Из теоремы Лагранжа следует, что найдется точка с, , такая, что

=> .

Две последние теоремы носят название теорем о конечных приращениях.

 

Дифференциал

 

Определение. Главная линейная относительно D х часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Если малое приращение функции можно представить в виде , где - б.м. функция более высокого порядка, чем D х при ( ), тогда

.

Пример. .

,

.

Теорема. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.

Доказательство. Предположим противное – функция имеет два дифференциала. Тогда малое приращение функции можно представить в виде

,

,

где , - б.м. функции более высокого порядка, чем D х при . Вычтем эти равенства:

.

Разделим обе части на D х:

.

Переходя к пределу в обеих частях равенства при , получим

,

.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Связь между производной и дифференциалом

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.

Доказательство. Функция - дифференцируема в точке х ₀,

.

По теореме о связи предела и б.м. функции:

,

где - б.м. функция при .

Умножим обе части на D х:

,

- б.м. функция более высокого порядка, чем Dх.

.

Следовательно, функция имеет дифференциал и .

Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал . Тогда

.

Разделим обе части на D х:

.

Переходя к пределу при , получим

.

Таким образом, функция имеет производную и .

Из этих теорем следует, что .

Дифференциал независимой переменной

 

Рассмотрим функцию у=х, dy=dx. Из теорем о связипроизводной и дифференциала следует, что:

dy =1 · D x,

dx = dy =D x.

Дифференциал независимой переменной равен маломуприращению этой переменной.

Таким образом, получена формула для вычисления дифференциала функции:

.

Дифференциал функции равен произведению производной функции в данной точке на дифференциал независимой переменной.

.