Понятие функции многих переменных

 

Пусть даны множества D R ⁿ и I R.

Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f (x ₁, …, x _n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n -1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x ₂= с ₂, x ₃= с ₃, …, х _n= c _n; y=f (x ₁, c ₂, …, c _n) - функция одной переменной х ₁.

Пример. - функция двух переменных,

- функция трех переменных.

Определение 2. Графиком функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек (х, у, z) 3-мерного пространства, таких, что (х, у) D (z) и z = f (x, y). Любую точку графика можно записать в виде (х, у, f (x, y)).

Z

0 Y

X

Определение 3. Графиком функции n переменных называется n -мерная гиперповерхность в пространстве R ^{n +1}, точки которой имеют вид

(х₁, х₂, …, х_n, f(x₁, х₂, …, x_n)).

Определение 4. Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D (z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Уравнение линии уровня: f(x, y) = c, где с - произвольное число. На данной линии уровня значение функции z=c. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести линию уровня.

Пример. z(x,y) = ,

D(z) = R ²\{(1,1)}.

Y Z=1/9

Z=1

Z=4

1

Z=9

0 1 X

c =1, , z=1.

c =4, , z=4.

c =9, , z=9.

Используя линии уровня, можно построить график функции.

 

Z

0 Y

X

Определение 5. Поверхностью уровня функции n переменных y=f(х ₁, х ₂, …, х _n ) называется гиперповерхность в пространстве R ⁿ, входящая в D (у), в каждой точке которой значение функции одно и то же. Уравнение поверхности уровня f(х ₁, х ₂, …, х _n )=с. На поверхности уровня значение функции постоянно: у=с.

Непрерывность функции

Многих переменных

 

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Возьмем точку (х ₀ ,у ₀ ) D(у) R ². Дадим аргументу х в данной точке приращение , зафиксировав у ₀. Выражение

z=f(x₀+ ,y₀) - f(x₀,y₀)

называется частным приращением функции по переменной х. Аналогично, фиксируя х ₀ и давая аргументу у приращение , мы получим частное приращение по переменной у.

z=f(x₀,y₀+ ) - f(x₀, y₀).

Выражение

z=f(x₀+ , y₀ + ) - f (x₀, y₀)

называется полным приращением функции.

Определение 1. Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке

(x ₀, y ₀) D (у), если она определена в этой точке и малым приращениям аргументов соответствует малое полное приращение функции.

.

Определение 2. Функция z=f(x, y) называется непрерывной на множестве А D (z), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Частные производные функции

Многих переменных

 

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).

Определение. Частной производной функции z=f(x,y) в точке(x ₀, y ₀) D (у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменнойстремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

,

.

При введении частной производной по любой переменной остальные переменные были фиксированы. Данное определение совпадает с определением производной функции одной переменной. Следовательно, частную производную можно найти, зафиксировав все переменные, кроме одной, считая их постоянными. Производная находится как производная функции одной переменной, т.е. . Все правила и формулы, справедливые для производной функции одной переменной, остаются справедливыми и для частных производных.

Пример 1.

Пример 2.

Полный дифференциал

 

Определение. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Если приращение функции можно представить в виде

,

где - бесконечно малые функции при , соответственно, то выражение называется полным дифференциалом функции двух переменных.

Теорема. Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных.

.

Пример. .

Производная по направлению

 

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x, y). Под направлением мы будем понимать любой вектор на плоскости.

Y

b

a

X

0

Определение 1. Направляющими косинусами данного направления называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления - .

Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

.

На плоскости имеем

.

.

Если рассмотреть вектор , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором и имеет единичную длину.

Пусть даны точка и направление . Переместим точку М ₀ вдоль направления на величину D l в точку М ₁. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.

Y M ₁

B b

D y D l a

M ₀ A

Dx

X

0

 

Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении: ,

Из треугольника М₀ М₁ А: .

Из треугольника М₀ М₁ В: .

.

Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);

.

Если направление совпадает с направлением оси ОХ, топроизводная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.

Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.

.

Пример. Найти производную функции в точке М (1, 2) в направлении (4, -3).

.