Расстояние от точки до плоскости

Предложение 11.1 Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

(11.7)

Доказательство. Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость (рис. 11.9).

 

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

Вектор и нормальный вектор n плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

Откуда

(11.8)

Координаты точки , которые нам неизвестны, обозначим . Тогда . Так как , то . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

(11.9)

Точка лежит на плоскости , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда находим, что . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим . Так как , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).

 

32)

В плоскости, в некоторой прямоугольной системе координат , , пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени

, (1)

где - заданные действительные числа. При этом числа одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение

может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.

Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка.

Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):

1) Уравнение эллипса

с полуосями длины и . В частности, при уравнение окружности

с центром в начале координат и радиусом .

2) Уравнение гиперболы

с полуосями и .

3) Уравнение параболы

4) Уравнение пары пересекающихся прямых

.

5) Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых

.

6) Уравнение, определяющее точку,

.

Остановимся вкратце на перечисленных кривых

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r ²,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x ² + y ² = r ².

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2 c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a ² - b ² = c ².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Уравнение: (1) Ось симметрии параболы – ось Ox	Рисунок №2 Уравнение: (2) Ось симметрии параболы – ось Ox
Рисунок №3 Уравнение: (3) Ось симметрии параболы – ось Oy	Рисунок №4 Уравнение: (4) Ось симметрии параболы – ось Oy

 

33)

Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси Oz,

· плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Рисунок 5.7.4

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостной гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Цилиндрические поверхности

Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение , то — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси .

Кривая, задаваемая уравнением в плоскости , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

 

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее:

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где — однородная функция, то — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка.

· Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

 

34)

Функция — одно из важнейших математических понятий.

 

Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y (x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или просто функцией.

 

Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x. Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.

 

Пример 1

Пусть функция задается формулой y=2 x ^2–6. Тогда можно записать, что f (x)=2 x ^2–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f (1), f (2,5), f (–3): f (1)=2•1^2–6= –4; f (2,5)=2•2,5^2–6= 6,5; f (–3)=2•(–3)^2–6= 12.

 

Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.

 

Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.

 

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

 

Пример 2	Например, областью определения функции f (x)=6 x – x ^2 является множество всех чисел;
Пример 3	областью определения функции служит множество всех чисел, кроме –3.

 

Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

 

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l 0 начальная длина стержня, а — коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функции l=g (t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

 

Пример 4	Известно, что f (x)= – x +3. Найдите значение x, при котором f (x)=10. Подставим в формулу f (x)= – x +3, которой задана функция, вместо f (x)=10. Получили уравнение: 10= – x +3. Pешив его, имеем x = –7.
Пример 5	Найдите область определения функции, заданной формулой . Oчевидно, что из известных нам невозможных действий здесь может случиться деление на нуль. Найдем значения аргумента, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключим их из области определения. x ^2–1=0; x ^2=1; x 1=1; x 2= –1. Областью определения этой функции служит множество всех чисел, кроме –1 и 1.
Пример 6	Какова область определения функции, заданной формулой: . Выражение, находящееся под корнем, по определению арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство: Областью определения этой функции служит множество чисел, не меньших –5.

 

35)

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

Способы задания функций

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [ x ] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [ x ] = r. Функция E(x) = [ x ] постоянна на промежутке [ r; r +1) и на нем [ x ] = r.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

· Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

· Пары называют точками данных или базовыми точками.

· Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

· Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом.

 

36)

1) Квадратный корень, функция Свойства:
1) Область определения:

= [ )
2) Область значений:

= [ )
3) Промежуток возрастания:

[ )
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции:
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если ( )
y<0, нет таких Х

2) Показательная функция , где a > 1
Свойства:
1) Область определения:

= ( )
2) Область значений:

= ( )
3) Промежуток возрастания:

( )
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции: нет
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если ( )
y<0, нет таких Х

3) Показательная функция , где a < 1
Свойства:
1) Область определения:

= ( )
2) Область значений:

= ( )
3) Промежутки возрастания: нет
4) Промежуток убывания:

( )
5) Нули функции: нет
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если ( )
y<0, нет таких Х

4) Логарифмическая функция , a > 1
Свойства:
1) Область определения:

= ( )
2) Область значений:

= ( )
3) Промежуток возрастания: ( )
4) Промежуток убывания: нет
5) Нули функции: x=1
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если ( )
y<0 если ( )

5) Логарифмическая функция , a < 1
Свойства:
1) Область определения:
= ( )
2) Область значений:

=( )
3) Промежуток возрастания: нет
4) Промежуток убывания:( )
5) Нули функции: x=1
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если ( )
y<0 если ( )

6) Тригонометрическая функция
Свойства:
1) Область определения:

=( )
2) Область значений:

=[ ]

3) Промежутки возрастания: [ ], где
4) Промежутки убывания: [ ], где
5) Нули функции: , где
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если [ ], где
y<0 если [ ], где

7) Тригонометрическая функция
Свойства:
1) Область определения:

=( )
2) Область значений:

=[ ]

3) Промежутки возрастания: [ ], где
4) Промежутки убывания: [ ], где
5) Нули функции: , где
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если [ ], где
y<0 если [ ], где

 

37)

1. Понятие о сложной функции Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию можно рассматривать как композицию функций и .

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись означает, что функция h получена как композиция функций f и g (сначала применяется g, а затем f), т. е. . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: . Чтобы можно было вычислить сложную функцию h = f(g(x)), надо, чтобы число g(x), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f.

Пример. Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа х, для которых , т. е. те, для которых число попадает в область определения функции .

2. Взаимно обратные функции Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

График обратной функции Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда: f(g(y)) = у и g(f(x)) = х. 2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g. 3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

38)

1. Предел переменной величины. Пусть переменная величина x в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом следующие значения: 4,9; 4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;… Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной величины x и пишут lim x = 5. Определение 1. Постоянная величина a называется пределом переменной x, если модуль разности при изменении x становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа e.

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

4. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

5. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

6. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

7. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

8. Предел показательной функции

где основание b > 0.

9. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

10. Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

 

39)

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Бесконечно малая величина

Последовательность