Свойства неопределённого интеграла

Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть если , то

Свойство 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

Свойство 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы

Свойство 4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Свойство 5. Неопределённый интеграл от разности функций равен соответствующей разности неопределённых интегралов

Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Свойство 7. Если

28. Таблица неопределенных интегралов. Интегрирование с помощью тождественных преобразований и свойств неопределенного интеграла на примерах

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Формулы из левого столбца таблицы называют основными первообразными. Формулы из правого столбца основными не являются, но очень часто используются при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Метод непосредственного интегрирования

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Внесение под знак дифференциала

В формуле неопределенного интеграла величина означает, что берется дифференциал от переменной . Можно использовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождение самого интеграла. Для этого используется формула

Если нужная функция отсутствует, иногда ее можно образовать путем алгебраических преобразований.

В общем виде справедливо равенство:

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть , где функция имеет непрерывную производную , а между переменными и существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

При нахождении функции по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Интегрирование методом замены переменной. Примеры. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть , где функция имеет непрерывную производную , а между переменными и существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Заменим знаменатель на переменную и приведем исходный интеграл к табличному.

Ответ.

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

При нахождении функции по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ.