Конечные и бесконечные множества.

Прежде всего, множества можно разделить на конечные и бесконечные.

Конечным множеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Примерами конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n-й степени, множество букв русского алфавита, множество персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало.

В математике приходится сталкиваться и с другими – неконечными, или, как принято говорить, с бесконечными множествами. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости, и т.д.

К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет. Например, в 101-й группе может не быть отличников и тогда А={а | а – отличник 101-й группы}=Æ.

Пустым множеством является и множество корней системы уравнений:

Х^2 + 1 = 0

Без введения пустого множества мы не могли бы, скажем, говорить о множестве корней произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное уравнение имеет хотя бы один корень. Существование этого понятия сокращает и упрощает формулировки многих теорем, облегчает введение новых понятий.

 

3. Равенство множеств. Подмножества. Способы задания множеств.

Множество однозначно определяется своими элементами. Поэтому множества А и В следует считать равными лишь в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов, т.е. тогда и только тогда, когда. Например, если А={а, b, с, d} и В={b, d, c, a}, то А=В. В частности, порядок расположения элементов в записи множеств при их сравнении во внимание не принимается. Рассмотрим еще пример. Пусть в плоскости заданы две точки: А и В. Обозначим середину отрезка АВ через O. Рассмотрим два множества: и Очевидно, что X=Y, так как оба множества представляют собой множество точек срединного перпендикуляра к отрезку АВ. Особо следует отметить, что каждый объект может быть элементом множества только один раз. Пусть, например, X ={х|х -гласный звук слова "математика"}. Выписывая все гласные звуки, получим: {а, е, а, и, а}. Звук "а" перечислен трижды. Вместе с тем ясно, что все звуки "а" тождественны, так что X ={а, е, и}. Имеем: {а, е, а,и, а}={а, е, и }.

Определение. Пусть A и B - какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт следующим образом или.

Это же определение можно переписать на языке кванторов "если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B". Из введенного определения очевидно следует утверждение, если и, то A = B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов.

Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества множества A имеем, что.

Определение. Подмножество A множества B, отличное от самого множества B и называется собственным подмножеством.

На языке кванторов это записывается следующим образом:.

Это, так называемое, "строгое" включение множества A в множество B.

Способы задания множеств.

1) Перечислением - и перечислении множества его элементы принято заключать в фигурные скобки:

{2,4,6,...} — множество четных чисел,

{3,6,9,...}— множество чисел кратных трем.

Под многоточием в данных случаях подразумеваются все последующие числа: в первом случае — четные, а во втором — кратные трем.

2) Описание свойств - для задания (описания) некоторого множества

X, состоящего из элементов, обладающих свойством

α, используют

запись X={x |α(x)}. Читается как: «

X — множество элементов

x таких, что

α(x)".

Например, Y={y | y∈N и y<7} — множество натуральных чисел, меньших 7.

Числовые множества.

Множество натуральных чисел N включают числа вида 1, 2, 3 и т.д., которые используются для счёта предметов.

Множество целых чисел Z состоят из натуральных чисел 1, 2, 3,..., числа 0 и чисел, противоположных к натуральным: -1, -2, -3,....

Множество рациональных чисел Q включают в себя выше перечисленные множества и числа вида m/n, где m и n целые числа. Рациональные числа могут быть записаны в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.

К множеству иррациональных чисел I относятся числа, которые представляются в зиде конечных десятичных дробей или в виде бесконечной периодической дроби. Например: число п.

При объединении множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел Iобразуется множество действительных чисел R.

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Чтобы задать числовую прямую необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0- начало отсчёта, а затем выбрать единичный отрезок и указать положительнео направление.

Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое определяется как длина отрезка от начала отсчета до рассматриваемой точки, при этом за единицу измерения принимается единичный отрезок. Это число -координата точки. Если точка взята справа от начала отсчета, то ее координата положительная, а если слева - отрицательная. Например точки О и А имеют координаты 0 и 2, соответственно, что можно записать так: 0(0), А(2).

Модуль или абсолютная величина числа х обозначается х. Модуль числа всегда положителен. Определение модуля можно записать с помощью системы:

В геометрическом смысле модуль х представляет собой расстояние отточки А(х) до начала координат.