Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

График функции 2-х переменных. Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

Рассмотрим функцию . Придадим переменной в точке произвольное приращение , оставляя значение переменной неизменным. Соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке .

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

1. 
   Частной производной функции двух переменных по переменной в точке называется конечный предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению этой переменной при стремлении к нулю приращения :

.

Обозначение частной производной по : , , , .

Частной производной функции по переменной называется конечный предел:

.

Обозначения: , , , .

Для нахождения частной производной по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной..

Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f_x^/(x,y) и f_y^/(x,y). Зафиксируем пару значений x и y и дадим им приращения и . Тогда функция получит приращение, которое называется полным приращением. Запишем следующим образом: (3).

Каждое из выражений в скобках представляет собой частное приращение функции z. Применим к этим выражениям формулу Лагранжа:

,

Где а . Если и то . Значит, в силу непрерывности частных производных, при . Таким образом, , где и бесконечно малые величины. Отсюда: (4).

Обозначим Тогда , где . Так как , , поэтому . Значит, при и , также стремиться к нулю. Соотношения равносильны соотношению . Окончательно,

(5)

причем . Формула (5) называется формулой полного приращения функции. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно и и представляет собой главную часть приращения, отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно . Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

.

Приращения независимых переменных и равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx= и dy= . Тогда . Равенство (5) можно переписать в виде: ,и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно можно записать приближенное равенство: , причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращения аргументов.

 

Первообразная функция и неопределенный интерграл. Свойства неопределенного интеграла

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.