Дифференциал функции одной переменной и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть функция задана на промежутке и пусть точка , а число такое, что новая точка . Приращением функции в точке называется разность значений функции в точках и , то есть

.

При этом число называется приращением аргумента

 

Определение 2

Пусть функция задана на промежутке и пусть точка , а число такое, что точка .

 

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен.

Для производной используются обозначения , или просто . Итак:

 

 

или, учитывая определение 1,

 

 

Геометрический смысл производной

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой .

Доказательство.

Рис.1. Пусть - непрерывная на промежутке функция. В точке проведем невертикальную касательную . Через точки и проведем секущую (рис.1). Обозначим через угол, который секущая составляет с осью , а через - угол между осью и касательной . Из рисунка 1 ясно, что для угла , равного углу в прямоугольном треугольнике , выполнено равенство: . При точка , двигаясь по оси стремится к точке , а точка , двигаясь по графику функции , в силу непрерывности стремится к точке . Тогда прямая при займет положение касательной . Поэтому , где - угловой коэффициент касательной. Таким образом, доказано, что .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение функции представимо в виде:

где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то

В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Производные высших порядков функции одной переменной. Примеры

Частные производные функции двух переменных z=f(x,y) являются функциями переменных x и y. Поэтому их снова можно дифференцировать. Так как каждую функцию z_x^/ и z_y^/ можно дифференцировать по x и y, то производных второго порядка будет четыре. Результат дифференцирования по x обозначается через , а результат дифференцирования по y через . Производная обозначает двукратное дифференцирование функции z=f(x,y) по y.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать по x или по y.

Частная производная n-го порядка, есть первая производная от производной (n-1)-го порядка.

Пример. Вычислить , если z=x³y+e^x+2y.

Последовательно находим

В данном примере сначала дважды дифференцировали по x потом по y. В случае, если частные производные до n-го порядка непрерывны, можно переставлять порядок дифференцирования по отдельным аргументам. Например:

Правила вычисления производных высших порядков функции двух переменных справедливы для функции любого числа аргументов.

Пример. , Вычислим .

,

Используя понятие частных производных n – го порядка, можно определить дифференциал n – го порядка функции z=f(x,y).

Определение. Выражение

(16)

называется дифференциалом n – го порядкафункции z=f(x,y).

1.Предполагается, что функция z=f(x,y) в равенстве (16) имеет непрерывные частные производные до n – го порядка включительно.

2.Выражение (16) задает функцию от переменных При фиксированных эта функция является однородной функцией степени n переменных .

3.Особое значение для приложений имеет дифференциал второго порядка

(17)

4. Если - независимые переменные, то , поэтому формулу (16) можно записать в виде

.

Однако в отличие от дифференциала первого порядка ни один из дифференциалов не обладает свойством инвариантности.

Теорема. Пусть f(x,y) – функция, определенная в некоторой - окрестности точки (x,y) и имеющая непрерывные частные производные по n - го порядка включительно. Тогда справедливо равенство

(18)

где - бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

С помощью формулы (18) исследуется поведение разности . Разность разбивается на два слагаемых

. Зависимость первого из них от и довольно простая; она описывается многочленом n – й степени от переменных и с коэффициентами, зависящими от и . Второе слагаемое представляет собой величину бесконечно малую более высокого порядка малости, чем , т.е. чем n -я степень расстояния между точками и , вследствие чего этим слагаемым во многих задачах можно пренебречь.