Свойства бесконечно больших величин

1. Произведение б\б величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина б\б.

2. Сумма б\б величины и ограниченной функции есть величина б\б.

3. Частное от деления б\б величины на функцию, имеющую предел, есть величина б\б.

Например:

1. если есть б\б величина при , функция при имеет предел , то функция - б\б. (1 свойство)

2. Если есть б\б величина при и - ограниченная функция, то - б\б функция (2 свойство)

3. является б\б функцией при . (свойство 3)

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1 /f(x) является бесконечно малой при x→a.

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x²+ 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1 /f(x) является бесконечно большой функцией.

 

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

.

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА.

 

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Пример. .

3. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример: .

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Примеры.

1.) .

2.) .

3.) Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→ 1, то .

5. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u (x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

 

 

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

 

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Первым замечательным пределом называется

Вторым замечательным пределом: или

Число . Точнее …, т.е является числом иррациональным. Играет весьма важную роль в математическом анализе. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными.