Бесконечно малые функции и их основные свойства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

2. Функция f(x) = tg x – бесконечно малая при x →0.

3. f(x) = ln (1+ x)– бесконечно малая при x →0.

4. f(x) = 1/ x – бесконечно малая при x →∞.

 

Связь бесконечно малых величин с пределами функций.

 

Теорема: Если функция имеет при x→a или при x →∞, предел равный ., то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при x→a или при x →∞.

Доказательство:

Докажем теорему для случая x→a. По условию функция имеет предел и . Это означает: что если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для всех и удовлетворяющих неравенству:

Выполняется

 

Или обозначив , имеем . А это собственно и значит, что - бесконечно малая величина. А из

.

 

Верна и обратная теорема:

 

Теорема: Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при x→a или при x →∞, то число есть предел этой функции при x→a или при x →∞, т.е. .

 

Основные свойства бесконечно малых функций

1. Теорема 1: Алгебраическая сумма (разность) двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и

То .

Следствие 2. Если и c= const, то

 

 

3. Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1 /f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция называется бесконечно большой величиной при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для всех и удовлетворяющих условию , будет верно неравенство .

Обозначение:

Например: при бесконечно большая функция. при бесконечно большая функция, причем , и

Определение бесконечно большой величины при запишем в краткой форме, его записать самим подробно!

или , обе функции являются бесконечно большими.

Не следует путать бесконечно большую переменную величину с очень большим, но постоянным числом , т.к. по мере приближения значений к или по мере увеличения по модулю (при ) в соответствии с , функция превзойдет это число (по абсолютной величине).