Условный экстремум, функция Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области.

Поиск условного экстремума осуществляется с помощью ф.Лагранжа

1) Необходимое условие существования условного экстремума

Решая систему, находим стационарные точки и параметр функции

2) Достаточное условие существования условного экстремума

(Mo) < 0 – точка условного максимума

(Mo) > 0 – точка условного минимума

18. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Таблица основных интегралов. Основные приемы интегриро­вания: интегрирование методом разложения, замена пере­менной, интегрирование по частям. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f (x).

Множество всех первообразных для данной функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

Свойства неопределённого интеграла

1. .

2. .

3.

4.

5.

 

Таблица основных интегралов.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .

Основные приемы интегриро­вания

Метод разложения:

По 4 свойству – разбить на сумму интегралов

Интегрирование дробей

1. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь неправильная и нужно поделить уголком, тем самым выделив целую часть:

2. Знаменатель разложить на множители и привести всю дробь к сумме простых дробей:

I. ,

II. ,

III. а) )D < 0

б) D > 0

Разложить знаменатель на множители и решать, используя пределы Ао, Во.

Интегрирование тригонометрии

1. Интегралы вида ∫cos(m*(x))sin(n*(x))dx находят в зависимости от четности степеней m и n следующим образом:

а) если m или n нечетное, то используют замену переменной:

t=sinx, при нечетном m;

t=cosx, при нечетном n,

и формулу sin²x+cos²x=1;

б) если m и n четные, то используют формулы понижения степени:

в) Если m+n=−2k, k∈N т. е. m+n является целым четным отрицательным числом, то удобно использовать подстановки

tgx=t и ctgx=t.

2. Интегралы вида ∫sin(m*(x))cos(n*(x))dx, ∫cos(m*(x))cos(n*(x))dx, ∫sin(m*(x))sin(n*(x))dx

вычисляют с помощью преобразований подынтегральной функции по следующим формулам:

sin(m*(x))cos(n*(x))dx =

sin(m*(x))sin(n*(x))dx = ,

cos(m*(x))cos(n*(x))dx = .

4. Интегралы вида, R(sinx,cosx)dx где R(u,v)− рациональная функция двух переменных, приводят к интегралам от рациональных функций нового аргумента t подстановкой t=tg(x/2). При этом используются формулы

Если под интегралом sinx и cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx=t.

 

Интегрирование иррациональности

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства. Т. о среднем.

Определенным интегралом от f(x) на [a,b] называется предел интегральных сумм при n стремящемся к бесконечности.

Т. о среднем.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ]. Тогда она непрерывна на отрезке [ a;x ] для любого xÎ [ a;b ]. Следовательно, на отрезке [ a;b ] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ]. Тогда функция обладает свойствами:

1) непрерывна на отрезке [ a;b ];

2) имеет производную F' (x) в каждой точке x Î[ a;b ], удовлетворяющую равенству .

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [ a;b ]. Тогда определённый интеграл от функции f (x) по отрезку [ a;b ] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Замена переменной в определённом интеграле

Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ] и пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [ a;b ], т.е. a £ j (t) £ b для t Î [a;b], причём j(a) = a, j(b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.