Понятие о комплексных числах

Мнимая единица – это число, дающее в квадрате –1: . Введение мнимой единицы дает возможность перейти к комплексному числу (рис. 3.13).

Применяется четыре формы записи комплексного значения синусоидальной величины: полярная, показательная, тригонометрическая и алгебраическая:

(3.29)

где и –соответственно действительная и мнимая составляющие комплексного числа; .

Переход от показательной формы к тригонометрической выполняется при помощи формулы Эйлера: . При значении угла и из формулы Эйлера следуют два часто встречающихся соотношения: и .

Операции над комплексными числами

Сопряженным комплексным числом называют число, имеющее противоположный знак фазы или мнимой части .

Если , то – комплексная амплитуда, а – комплексное изображение мгновенного значения, где называют фактором поворота, умножение на который означает поворот на угол y _i в комплексной плоскости; называют фактором вращения, умножение на который означает вращение вектора с постоянной частотой wв положительном направлении вокруг начала координат.

В этой связи следует отметить, что умножение комплексного числа на «–1» означает поворот вектора на , умножение на – поворот на .

Комплексное мгновенное значение может быть представлено с помощью формулы Эйлера в тригонометрической форме . Интересующая нас функция времени, описывающая изменение тока в цепи, есть мнимая часть мгновенного комплексного значения тока : . Именно это соотношение позволяет утверждать, что между мгновенным значением синусоидальной величины и ее символическим изображением существует однозначное соответствие.

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения, сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие им векторы на комплексной плоскости – векторами комплексных значений. Связь между комплексом амплитуды и комплексом действующего значения устанавливается по формуле:

. (3.30)

Пример символического представления функции времени .

– комплекс амплитуды;

– комплекс мгновенного значения;

– комплекс действующего значения или комплекс.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы y всех комплексных значений уменьшить или увеличить на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называют исходным вектором.

Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений выбирается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи (рис. 3.14).

При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением и соответствующим комплексным значением . Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления.

Теоремы символического метода

1. Об однозначном соответствии символического изображения данной тригонометрической функции: . Это было показано выше: , где .

2. О линейном преобразовании: если , то , т.е. .

3. О сумме: если , то . Следствие:

. Следует отметить, что в правой части складываются векторы по правилам векторной алгебры.

4. О производной: если , а , тогда , т.е. взятие производной во временной области означает умножение вектора на j wв комплексной области или поворот вектора на : .

5. Об интеграле: если , а , то , т.е. интегралу функции во временной области соответствует деление вектора на j wв комплексной области или поворот вектора на угол .

Таким образом, символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи переменного тока, к виду алгебраических уравнений. Полученное таким образом решение можно затем перевести во временную область.

Законы Ома и Кирхгофа

По I закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е.

.

В соответствии с теоремой о сумме I закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записывается в виде

(3.31)

По II закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е.

или или . (3.32)

Но в соответствии с теоремами символического метода II закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записи имеет следующий вид:

или . (3.33)

Рассмотрим закон Ома в символической форме записи для элементов цепи гармонического тока (рис. 3.15).

 

Если , (по теореме о линейном преобразо­вании), то . Это закон Ома в символи­ческой форме.	(по теореме о производной) Закон Ома: .	(по теореме об инте­грале) Закон Ома: .

На рис. 3.16 приведены векторные диаграммы напряжений и токов соответственно для сопротивления, индуктивности и емкости.

 

3.3.3. Последовательное соединение R, L, C

По II закону Кирхгофа

.

На основании теоремы о сумме

, (3.34)

где – комплексное сопротивление цепи.

На основании теоремы Эйлера

. (3.35)

Полное сопротивление равно модулю полного комплексного сопротивления , аргумент полного комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока .

Комплексное сопротивление можно представить в виде

(3.36)

где R – действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением, ;

X – мнимая часть комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением, .

Таким образом, закон Ома в общем виде , где может представлять, в частности, следующее: для сопротивления , для индуктивности , для емкости .

Введем понятие комплексной проводимости . (3.37)

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является ток, вектор тока и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.18).

Возможны три режима работы такой цепи:

– индуктивный режим, ;

– резонанс напряжений, ;

– емкостный режим, .

Угол j(разность начальных фаз напряжения и тока) определяется углом поворота вектора тока к вектору напряжения по кратчайшему пути: если поворот определяется против часовой стрелки, то (отстающий ток), иначе – (опережающий ток). Как видно из приведенных выше формул, характер цепи определяет большее реактивное сопротивление.

3.3.4. Параллельное соединение R, L, C

Пусть к цепи, состоящей из параллельного соединения R, L, C элементов (рис. 3.19), приложено напряжение , которому соответствует . Определим токи во всех ветвях.

По I закону Кирхгофа мгновенное значение тока

.

Согласно теореме о сумме

.

Применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме:

,

,

.

Тогда , (3.38)

где – полная комплексная проводимость ;

активная проводимость ;

индуктивная проводимость ;

емкостная проводимость .

На основании формулы Эйлера

. (3.39)

Действительная часть комплексной проводимости , называется активной проводимостью;

мнимая часть комплексной проводимости , называется реактивной проводимостью.

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является напряжение , вектор напряжения и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.20).

Возможны три режима работы такой цепи:

– индуктивный режим, ;

– резонанс токов, ;

– емкостный режим, .

Таким образом, в параллельных ветвях характер цепи определяет большая реактивная проводимость или меньшее реактивное сопротивление.