П.4. Модуль комплексного числа

Пусть a записано в алгебраической форме a = a + bi.

Определение. Модулем комплексного числа a называется неотрицательное действительное число . n

Свойства модуля

Для "a, bÎ C, где a = a + bi, b = c + di, a, b, c, d Î R.

1/ | a | = 0 «a = 0.

Доказательство. | a | = 0 « = 0 «a + b = 0 «a = b = 0 «

«a = a + bi = 0. n

2/ .

3/ .

Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения. n

4/ | ab | = | a | | b |.

Доказательство. .

Отсюда следует нужное утверждение. n

5/ Если a ¹ 0, то | a ^-1 | = | a | ^-1.

Доказательство. a a ^-1 = 1 ® | a a ^-1 | = | 1 | ® | a | | a| ^-1 = 1 ®

® | a ^-1| = | a | ^-1. n

6 / Неравенство треугольника: | a+b | £ | a | + | b |.

Доказательство. Докажем сначала неравенство

(1) | a+1| £ | a | + 1.

Имеем

(2) | a+1| = (a+1)(a+1) = (a+1)(a +1) = a a+ (a+a) +1 £

£ |a| +2|a| + 1,

т.к.

a + a = 2 a £ 2 = 2| a |.

Из (2) следует, что

| a+1| £ (| a | + 1) .

Из последнего неравенства следует неравенство (1).

Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для b = 0. Докажем неравенство треугольника для b ¹ 0. Имеем

| a+b | = | b(ab +1)| = | b| | ab +1| £ | b| (| ab | + 1) =

= | b | (| a | | b | + 1) =

= | a | + | b |. n

7/ | a+b | ³ | a | - | b |.

Доказательство. | a | = |(a+b)+(-b)| £ | a+b | + | -b| = | a+b | + | b |. Отсюда следует нужное неравенство. n

8/ | a+b | ³ | | a | - | b| |.

Доказательство. Справедливы неравенства

| a+b | ³ | a | - | b |, | a+b | ³ | b | - | a | = -(| a | - | b|).

Одно из подчёркнутых чисел совпадает с || a | - | b ||. n

П.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Пусть a записано в алгебраической форме a = a + bi. Поставим в соответствие числу a точку плоскости с координатами (a, b). Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.

Числа a и a расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.

Геометрический смысл модуля

Из рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа a равно

. Поэтому геометрический смысл | a | - расстояние от a до начала координат.!Íåîæèäàííîå îêîí÷àíèå ôîðìóëû

^y

^{bi a}

ⁱ

^{-1+ i 1+ i}

^{-1 0 1 a}

^x

^{-1- i 1- i}

^{- i}

Рис.1.

^{- bi `a}

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества заданные, соответственно, следующими условиями: | z | =1; | z | £1; | z | ³1.

^y | z | =1 ^y | z | £1 ^y | z | ³1

_{i i i}

^{-1 1 -1 1 -1 1}

^{0 0 0}

^{- i - i -i}

Рис.2.

 

Пусть b записано в алгебраической форме b записано в алгебраической форме b = c + di. Имеем

| a-b | = = .

Из рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.

 

y

ba

d | b - d |

b | a - c |

Рис.3.

0 c a x

 

 

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества заданные, соответственно, следующими условиями: | z- 1| =2; | z + i | > 1.

 

 

y y

| z -1| =2 ⁰

x

_{- i}

^{-1 0} 1 ³ x |z+ i | > 1

^{-2 i}

Рис.4.

 

 

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

векторами плоскости

Поставим в соответствие числу a связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке a. Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.

 

y

a+b

b

a

0 Рис.5

x

 

Геометрический смысл модуля комплексного числа a, при интерпретации чисел векторами, - длина вектора a. Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.

 

П.6. Тригонометрическая форма записи

Комплексного числа

 

Определение. Аргументом комплексного числа a называется число Arg a, равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором a, Arg a определяется с точность до углов кратных 2p. Главным значением аргумента комплексного числа a называется то значение Arg a, которое принадлежит промежутку (-p,p], оно обозначается

arg a и -p< arg a £p. n

Пусть a записано в алгебраической форме a = a + bi ¹ 0. Тогда из геометрической интерпретации a следует, что:

Arg a = arg a + 2p k, k Î Z;

arg a = arctg (b/a), если a > 0;

arg a = arctg (b/a) + p, если a < 0, b ³ 0;

arg a = arctg (b/a) - p, если a < 0, b < 0.

Заметим, что arg a выражается только в радианах, arg 0 не определён.

Пример.

аrg 1 = 0, Arg 1 = 2p k, k Î Z,

аrg (-1) = p, Arg (-1) = p + 2p k, k Î Z,

аrg i = p/2, Arg i = p/2 + 2p k, k Î Z,

аrg (- i) = -p/2, Arg (- i) = -p/2 + 2p k, k Î Z,

аrg (1+ i) = p/4, Arg (1+ i) = p/4 + 2p k, k Î Z. n

Теорема 4. Каждое комплексное число a ¹ 0 может быть записано в виде

a = | a| (cos (arg a) + i sin (arg a)) =

= | a| (cos (Arg a) + i sin (Arg a)).

Доказательство. Изобразим a вектором комплексной плоскости,

см. Рис.6.

 

y

b a

 

 

Рис.6.

0 a x

 

Угол, образованный вектором a и положительным направлением оси абсцисс, равен arg a, следовательно, a = |a| cos (arg a), b = |a| sin (arg a). Поэтому a = a + bi = | a| cos (arg a) +| a| sin (arg a) = |a| (cos (arg a) +

+ i sin (arg a). n

Определение. Если комплексное число a записано в виде a = | a|(cos j + + i sin j), то говорят, что a записано в тригонометрической форме. n

Пример. Запишем числа 1,-1, i, - i в тригонометрической форме:

1 = cos 0 + i sin 0; -1 = cos p + i sin p; i = cos (p/2) + i sin (p/2); - i =

= cos (-p/2) + i sin (-p/2); 1+ i = Ö2(cos (p/4) + i sin (p/4)). n

 

Правила действий с комплексными числами,

записанными в тригонометрической форме

 

Пусть комплексные числа a,b записаны в тригонометрической форме

a = | a |(cos j + i sin j), b = | b |(cos y + i sin y).

1/ ab = | a || b| (cos (j + y) + i sin (j + y)),

т.е. при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.

ab =| a |(cos j + i sin j) | b |(cos y + i sin y) =

= | a || b| ((cos j cos y - sin j sin y) + i (cos j sin y + sin j cos y) =

= | a || b | (cos (j + y) + i sin (j + y)). n

2/ Если b ¹ 0, то

a / b = (| a | / | b |) ((cos (j - y) + i sin (j - y)),

т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Обозначим g = (| a | / | b |) ((cos (j - y) + i sin (j - y)). Т.к.

g b = (| a | / | b |) ((cos (j - y) + i sin (j - y)) (| b | (cos y + i sin y)) =

= a|(cos j + i sin j) = a, то нужное утверждение доказано. n

3/ Если b ¹ 0, то

b = | b | (cos (- y) + i sin (- y)).

4/ Формула Муавра. Для " n Î N,

a = | a | (cos n j + i sin n j).

Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1. n

5/ Обобщённая формула Муавра. Для " n Î Z,

a = | a | (cos n j + i sin n j).

Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3/. n