Сформулируйте основную теорему алгебры комплексных чисел.

Многочлен n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).

Или:

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

 

44. Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь более двух корней? Ответ обоснуйте.

а)б) - не верно.

Опираясь на основную теорему алгебры комплексных числел, любое квадратное уравнение(уравнение второй степени) в области комплексных чисел имеет ровно 2 комплексныхкорня (в некоторых случаях комплексные корни могут быть действительными, если они лежат на действительной оси).

 

45. Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ; б) ; в) .

 

46. Многочлен степени 4 с действительными коэффициентами имеет корень . Докажите, что корнем этого многочлена является число .

6. Линейные операторы в пространстве

47. Дайте определение линейного оператора. Проверьте линейность оператора, переводящего вектор в вектор .

 

48. Дайте определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Приведите пример.

Пусть Ф(е1)=а11е1+а21е2+…+ан1ен; Ф(ен)=а1ен1+а2ен2+…+аннен. Составим матрицу, она и будет называться матрицой линейного оператора.

 

49. Как изменяется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому? Ответ проиллюстрируйте на примере.

Теорема (о переходе к другому базису) Пусть Ae - матрица линейного оператора A

в базисе E = (e1,..., en). Пусть Af - матрица линейного оператора A в базисе F = (f1,..., fn).Тогда матрицы связаны соотношением: . Где - матрица перехода от базиса E к базису F: F=

 

50. Найдите матрицу преобразования пространства в стандартном базисе: а) - поворот на угол ; б) - симметричное отражение векторов относительно прямой .

51. Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите пример.

Пусть L — линейное пространство над полем K, — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор, что для некоторого Ax = λx Собственным значением линейного преобразования A называется такое число, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение.

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

 

52. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.

53. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.

54. Могут ли все собственные значения ненулевой матрицы быть равными 0? Ответ обоснуйте для квадратных матриц порядка .

Составим характеристическое уравнение: . Мы видим, что при лямбда =0, ad=bc.. Подставим это уравнение в характеристическое и упростим его. Получится: . Следователь лямбда = 0, когда 1)ad=bc, 2)a=-d/

 

55. /

56. Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.

Пусть v - собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению лямбда. Тогда Это означает, что (AT v, v) = лямбда(v, v), а значит AT v = лямбда v. То есть собственные значения исобственные вектора матриц A и AT совпадают.

 

57. /

58. Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.

 

Собственные значения матрицы A удовлетворяют характеристическому уравнению этой матрицы, то есть det (A - E) = 0.

Пример: матрица

Тогда

det (A -λE) = det

Получаем, что λ = 1, λ = 3 - собственные значения указанной матрицы.

 

59. /

60. /

61. Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.

 

Числом Фробениуса матрицы A ≥ 0 называется максимальное собственное значение

этой матрицы.

Теорема: Если сумма элементов строки (столбца) матрицы A > 0 одинакова и

равна a, то число Фробениуса матрицы A равно a.

a) матрица Сумма элементов всех строк равна 5. Следовательно,

опираясь на теорему, число Фробениуса этой матрицы равно 5.

b) Найдем собственные значения матрицы

(1-λ)(3-λ) = 0

λ = 1, λ = 3

Числом Фробениуса называется максимальное собственное значение, то есть = 3

 

62. /

63. /

Квадратичные формы

64. Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы: а) ; б) .

Квадратичной формой Ф от переменных x₁,x₂,…x_n называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Каждая квадратичная орма допускает однозначную запись в следущем симметричном виде:

Где a_ij­=a_ji (матрица симметрическая)

Симметрическая матрица А, элементами которой являются числа a_ij, называется матрицей квадратичной формы Ф. Если ввести в рассмотрение столбец X=(x₁;x₂;…;x_n)^T, то квадратичную форму Ф можно записать в матричном виде Ф=X^TAX.

А)

(Пишу своими словами). Для построения матрицы из формулы нужно подставить коэффициенты при x на определенные места в матрице. Коэффициенты при x_i² ставим на соответствующие места x₁₁,x₂₂,x₃₃ (по диагонали) без изменений, а коэффициенты при x_ix_j делим на 2 и ставим симметрично на соответствующие места x_ij,x_ji (то есть x₁₂,x₂₁; x₁₃,x₃₁ и т.д.)

Б)

 

65. /

66. /

67. /

68. Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.

где ; ;

 

69. /

70. /

71. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.

Теорема

Квадратичная форма Ф тогда и только тогда является положительно определенной, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны.

Доказательство

Положительность миноров будем доказывать индукцией по n.

При n=1 единственным угловым минором формы является ; положительная определенность формы Ф равнозначна положительности .

Допустим теперь, что утверждение теоремы справедливо для квадратичных форм от n – 1 переменных, и в этом предположении докажем его для квадратичной формы от n переменных.

Так, пусть дана квадратичная форма

Представим ее в виде

где есть квадратичная форма от переменных При будем иметь поэтому из положительной определенности формы Ф следует положительная определенность Угловые миноры формы совпадают с угловыми минорами формы Ф, поэтому из предположения индукции следует [1]

Положительность минора вытекает из простого рассуждения. Мы знаем, что при замене координат матрица А квадратичной формы преобразуется в матрицу , где P – матрица перехода от новых координат к старым. Применяя теорему об определителе произведения матриц, получим , т.е. и имеют один и тот же знак. Но для формы к которой Ф приводится преобразованием координат, минор , равный произведению , больше нуля; значит, он положителен и для исходного вида формы Ф. Добавляя сюда уже доказанные ранее неравенства [1], получаем требуемое. Теорема доказана.

Из данной теоремы, принимая во внимание F = - Ф, нетрудно получить

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем

Пример

Матрицей квадратичной формы является матрица

Для нее .

Поэтому данная квадратичная форма – положительно определенная.

 

8. Прямые и плоскости в точечном пространстве

72. Выведите канонические уравнения прямой в , проходящей через данные точки и .

73. Выведите уравнение прямой в , проходящей через данную точку в данном направлении .

Если точка принадлежит l, то вектор коллинеарен . Это записывается с помощью равенств

[1]

Уравнения [1] называются каноническими уравнениями прямой l. В действительности уравнения [1] представляют собой систему из двух уравнений

Каждое из которых определяет плоскость (первая из плоскостей параллельна оси z, вторая – оси y).

 

74. Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ..

Поскольку речь идет о плоскости, проходящей через точку A и параллельной векторам , то искомое уравнение будет

 

75. Выведите уравнение плоскости в , проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору . Приведите пример уравнения плоскости в , проходящей параллельно какой-либо координатной оси.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, тогда необходимо, чтобы вектор AM = (x-a, y-b, z-c) был ортогонален вектору n, то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю:

p(x - a) + q(y - b) + c(z - c) = 0

получили уравнение искомой плоскости.

 

Пример уравнения, проходящего параллельно какой-либо координатной оси:

x=-1. Такая плоскость будет параллельна осям Oy и Oz

 

76. Две прямые заданы каноническими уравнениями и . Найдите угол между ними. Ответ обоснуйте.

Угол между плоскостями сводится к углу между нормалями

 

77. Как найти угол между плоскостями в по их общим уравнениям , ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

 

78. Как найти угол между прямой и плоскостью в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

Направляющий вектор прямой:

Вектор-нормаль плоскости:

 

79. Как найти расстояние от точки до прямой ? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми в ?

Для нахождения расстояния между прямой и точкой нужно воспользоваться формулой: Расстояние между двумя параллельными прямыми можно искать как расстояние между одной из прямых и точкой, принадлежащей другой прямой.

Пример: l1: y - x = 0, и l2: y - x - 1 = 0.

 

80. Как найти расстояние от точки до плоскости ? Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями в ?

Расстояние между двумя параллельными плоскостями можно найти как расстояние между одной из них и точкой, принадлежащей другой плоскости.

 

81. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые и . Ответ обоснуйте.

Назовем прямые L: (х-а)/1=(у-b)/2=(z-c)/3 и М:(x-a)/3=(y-b)/2=(z-c)/1

Полагаем, что точка А (а;b;c) начальная точка, а направляющий вектор для L вектор p(1;2;3) – один из направляющих векторов плоскости π. Направляющий вектор для М вектор q(3;2;1) – второй направляющий вектор плоскости π. Уравнение плоскости π запишем в виде

Откуда, раскрывая определитель, получаем общее уравнение плоскости

Π: -4х+8у-4z +4(a-2b+c)

 

82.Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

Предположим что плоскость имеет координаты (А;B;C) z

Если А=0, то х любое, следовательно данная плоскость

Параллельна плоскости Ох и ортоганально плоскости yOz

 

 

Кривые второго порядка

83. Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?

Где коэффициенты – действительные числа, причем не равны нулю одновременно и имеет место симметричность