Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

Линейные пространства

1. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.

Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Указанные операции должны удовлетворять следующим условиям:

1) a + b = b + a
2) (a + b)+c = a+(b + c)
3) a + 0 = a
4) a + (-a) = 0
5) k (a + b) = ka + kb
6) (k + m) a = ka + ma
7) k(ma) = (km)a
8) 1*a = a

Где a, b, c – произвольные векторы;
k, m – произвольные действительные числа

Примеры линейных пространств:

1) пространство Rⁿ;

2) множество решений однородной системы линейных уравнений;

3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;

4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;

5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;

6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.

 

2. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.

Система векторов а₁, а₂ и а_m называется линейно зависимой, если существуют такие числа с₁, с₂, с_m (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:

с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0.

Пример:

а₁ = (2, 2, 3)
а₂ = (0, -4, 5)
а₃ = (3, 13, -8) – система векторов.

Пусть с₁ = 3, с₂ = -5, с₃ = -2, тогда 3а₁ - 5а₂ - 2а₃ = (6, 6, 9) – (0, -20, 25) – (6, 26, -16) = (0, 0, 0)

Вывод: система векторов линейно зависимая.

Утверждение: Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Следствие: Система, включающая нулевой вектор, линейно зависима.

Док-во: Пусть дана система из трех векторов а₁, а₂, а₃, причем часть системы, состоящая из векторов а₂, а₃ – линейно зависима, т. е. справедливо равенство:
с₂ а₂ + с₃ а₃ = 0; с₂, с₃ ≠ 0.
Добавим к обеим частям нулевой вектор а₁, получим:
0а₁ + с₂ а₂ + с₃ а₃ = 0, что означает линейную зависимость такой системы.

 

1. Система из одного вектора а линейно зависима тогда когда а=0

2. Система содержащая более одного вектора линейно зависима в том и только в том случае когда среди данных векторов имеется такой который линейно выражается через все остальные

3. Если часть системы линейно зависима то и вся система линейно зависима, система включающая нулевой ветор линейно зависима

4. Если система линейно независима но при добавлении к ней а становится зависимой то а линейно выражается через другие векторы

3. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.

Система векторов ā1,ā2,…,ām такова, что равенство с1ā1+с2ā2+...+сmām =0 возможно только при с1=c2=,..,=с3=0, то эта система называется линейно независимой.

Пример:

а = (а₁, а₂, …, а_n)
b = (0, b₂,…, b_n)
c = (0, 0, c₃, …, c_n) – лестничная система векторов.

Любая лестничная система векторов линейно независима.

Док-во: От противного. Предположим, что лестничная система векторов линейно зависима. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть а выражается через b и c. Тогда:
а = kb + mc
Но такое равенство невозможно, так как первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора kb + mc равна нулю. Данное противоречие доказывает, что система векторов а, b, c – линейно независима.

Примеры:

ü Система векторов ·i, j линейного пространства R2 геометрических радиусов векторов плоскости линейно независима.Действительно.

i = (1, 0), j = (0, 1), С1·i + С2· j = (С1, С2), а из (С1, С2) = 0 следует, что С1 = 0 и С1 = 0, т.е. система векторов i, j из R2 линейно независима.

ü В линейном арифметическом пространстве Rn рассмот-

рим n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0, 0),..., e n = (0, 0,.., 0, 1). До-

кажем, что система этих векторов линейно независима.

Так как для любых коэффициентов α1, α2,..., αn линейная комбина-

ция α1 e 1 + α2 e 2 +... + αn e n = (α1, α2,..., αn), то ясно, что она может быть

равна нулевому вектору (0, 0,..., 0) только при условии равенства нулю

всех коэффициентов. По определению, это означает, что система векторов

линейно независима.

Системы линейных уравнений

9. Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?

Определенная система – система линейных уравнений, имеющая одно решение
Неопределенная система – система линейных уравнений, имеющая более одного решения
Несовместная система – система линейных уравнений, не имеющая ни одного решения.
Если правые части системы равны нулю, то такая система называется однородной. Любая однородная система совместна: нулевые значения неизвестных составляют ее решения.

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = a 1, Х2 = a 2, …., Х1 = a n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной (появление противоречивой строки)

Например:

2*х1 + 3*х2 + х3 - 2*х4 =9

7*х1 + 8*х2 – х3 - 2*х4 =5

3*х1 + 2*х2 - 3*х3 + 2*х4 =10

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Например:

Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной.

Например: (имеет единственное решение)

х1+2*х2+3*х3=7

2*х1-х2+х3=4

3*х1-2*х2-х3=3

Систему называют неопределенной, когда она имеет бесконечно много решений (если число переменных больше, чем количества уравнений)

!!Любая однородная система совместна!!

 

10. Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.

Решим систему относительно х1,х2,х3. .

Каждый раз меняя значения, мы будем получать разные решения.

 

11. Докажите, что множество решений однородной системы из уравнений с неизвестными является подпространством пространства . Какова размерность этого подпространства? Ответ обоснуйте.

12. Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.

Теорема (Кронекера и Капелли): Неоднородная система уравнений Ax = b сов-

местна тогда и только тогда, когда rangA = rangB (где B - расширенная матрица системы (B = [A|b]), получающаяся из A дописыванием свободного столбца b).

 

13. Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Называется базисное пр-во решений линейной однородной системы ур-й. Для того, чтобы построить фундаментальный набор решений однородной СЛАУ при помощи метода Гаусса, необходимо решить систему по этому методу и выразить базисные неизвестные через свободные. Далее, присваивая одной свободной неизвестной значение 1, а остальным 0, получим фундаментальное решение. Повторяя эту операцию со всеми свободными неизвестными, получим фундаментальный набор решений.

 

14. Найдите фундаментальный набор решений системы:

15. Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.

Любое другое решений – это линейная комбинация двух уже известных решений.

 

Евклидовы пространства

16. Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.

На линейном пространстве V задано скалярное произведение, если любым двум векторам а и b из V сопоставляется число (а, b) – их скалярное произведение так, что выполняются следующие условия:

1) (a, b) = (b, a)
2) (ka, b) = k(a, b)
3) (a + b, c) = (a, c) + (b, c)
4) (a, a) ≥ 0 и (a, a) = 0, только если а = 0.

Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:
І(а, b)І ≤ ІaІ ІbІ

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. R ⁿ: x=(x₁,…,x_n), y=(y₁,…y_n) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо неравенство

Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.

Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β²- α γ≤ 0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.

 

Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству

 

17. Докажите, что для любых векторов верно неравенство треугольника .

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:

Доказательство:

В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

²+2 + ²=( + )²

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим:

 

18. Дайте определение ортонормированной системы векторов в . Приведите пример ортонормированной системы в .

Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором: (x, x) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e ₁, e ₂, ..., e _n попарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (e _i, e _j) = 0, если i ≠ j, (e _i, e _i ) = 1.

Если e ₁, e ₂, ..., e _n — ортонормированная система и x = x ₁ e₁ + x ₂ e₂ +... + x _n e _n — разложение вектора x по этой системе, то x _i =(x, e _i ).

 

19. Докажите, что ортонормированная система в , состоящая из 3 векторов, является базисом пространства .

Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором: (x, x) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e ₁, e ₂, ..., e _n попарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (e _i, e _j) = 0, если i ≠ j, (e _i, e _i ) = 1.

Если e ₁, e ₂, ..., e _n — ортонормированная система и x = x ₁ e₁ + x ₂ e₂ +... + x _n e _n — разложение вектора x по этой системе, то x _i =(x, e _i ).

 

20. Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты. Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Этот базис линейнонезависим. Пример ортоганального базиса в R3: v1=(3;0;0), v2=(0;-2;0), v3=(0;0;3).

 

Матрицы и определители

21. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка рангов 1, 2 и 3.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

 

22. Дайте определение произведения матриц и . Приведите пример, когда определено, а - нет. Существуют ли ненулевые квадратные матрицы и такие, что ? Ответ обоснуйте.

1) Умнож. матр. на число- умножается каждое слогаемое матр. на это число.

2) Умножение на матр. (m*n)*(n*k)=(m*k)=C=A*B. Существует матрица С, каждый эл-т этой матрицы является скалярным произведением соотв.строки матр. А на столбец матр B

Св-ва:

1) (AB)C=A(BC);

2) A(B+C)=AB+AC;

3) q(AB)=(qA)B=A(qB);

4) (AB)^t=B^tA^t; 5) AB НЕ=BA!

 

23. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц порядка : а) ; б) ; в) ; г) . Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

24. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых обратимых матриц порядка и ненулевого числа : а) ; б) ; в) ; г) ? Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

25. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка . Приведите примеры таких матриц.

Квадратная матрица А называется невыражденной, если её строки линейно независимы,и вырожденной в противном случае.Св-во: Т.к. элементарные преобразования не меняют ранг матр., то проделав над строками невыражд. матр А элементарн преобразование, получим снова невыражд. матр

 

26. Сформулируйте основные свойства определителей, связанные с элементарными преобразованиями строк.

1) Если какая либо строка определителя состоит из 0, то и сам определитель равен нулю.

2)При перестановке любых 2-х строк определ.умножается на -1.

3) Определ. с 2 равными строками равен 0.

4) Общий множитель эл-тов любой строки можно вынести за знак определ.

5) Если эл-ты некоторых строк определ. представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то и сам определ. равен сумме 2-х определ. 1и2. В определ. 1 указанная строка состоит из первых слагаемых в 2 из вторых.Остальные строки определ. 1и2 те же,что и в начальном.

6) Величина определ. не изменяется, если к одной из строк пребавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

7)Сумма произведений эл-тов любой строки на алгебраич. дополнения к соответств. эл-там другой строки равен0.

8) Определю матрицы A равен определителю транспонир. матрицы |A|=|A^t|.

9)Определитель произведения 2-х матриц равен произведению определ. этих матриц, |A*B|=|A|*|B|.

 

27. Напишите разложение определителя по второй строке.

28. Проверьте справедливость свойства для матриц , .

29. Докажите, что , где .

 

Доказать, что , где .

Докажем, что

 

30. Существуют ли матрицы и такие, что , а . Ответ обоснуйте.

Нет (так как во втором случае либо а, либо в равны нулю, а во втором ни а, ни в нулю не равны!)

 

31. Приведите формулу для вычисления обратной матрицы для матрицы порядка 3. С помощью этой формулы найдите .

32. Верно ли, что матричные равенства и равносильны? Ответ обоснуйте.

33. Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений . Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если êAêне равно 0, то система имеет единственное решение:x₁=êA₁ê/ êA ê; x₂=êA₂ê/ êA, где А_i, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.

В виде матрицы эту систему можно записать таким образом:

A = , где

ответы будут уравнений будут находится в последнем столбце. Теперь мы введем понятие основного определителя; в данном случае он будет выглядеть таким образом:

= = 66.

Основным определителем является матрица, составленная из коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x, во втором столбце при y, и так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы заменяем каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений.

1 = = 43,

2 = = 41,

3 = = 51.

Затем нужно найти определители 1, 2, 3 и применить правило Крамера. Оно выглядит так:

x1 = = ,

x2 = = ,

x3 = = – для данного случая, а в общем виде оно выглядит следующим образом: xi = .

 

34. Проиллюстрируйте применение правила Крамера для решения системы уравнений

Комплексные числа

35. Дайте определение и приведите пример комплексно-сопряженных чисел. Докажите, что для комплексных чисел , справедливы равенства: а) , б) .

 

Комплексное число Z обозначается символом a+ib, где а и в – действительные числа, называемые соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемы условием i*i=-1, называется мнимой единицей. Комплексное число а-ib называется сопряжённым с числом z=a+ib и обозначается z’

36. Изобразите на плоскости комплексные числа , , и .

37. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа и укажите способ их нахождения.

Каждому комплексному числу z=a+ib может быть поставлен в соответствие вектор (а,в) принадлежащий R(квадрат). Длина этого вектора, равная корню из сумма а*а и в*в, называется модулем комплексного чтсла z и обозначается через модуль z. Угол «фи» между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом этого числа.

38. Запишите в тригонометрической форме числа , .

39. Найдите модуль комплексного числа

40. Найдите аргумент числа .

41. Используя формулу Муавра, вычислите .

Квадратичные формы

64. Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы: а) ; б) .

Квадратичной формой Ф от переменных x₁,x₂,…x_n называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Каждая квадратичная орма допускает однозначную запись в следущем симметричном виде:

Где a_ij­=a_ji (матрица симметрическая)

Симметрическая матрица А, элементами которой являются числа a_ij, называется матрицей квадратичной формы Ф. Если ввести в рассмотрение столбец X=(x₁;x₂;…;x_n)^T, то квадратичную форму Ф можно записать в матричном виде Ф=X^TAX.

А)

(Пишу своими словами). Для построения матрицы из формулы нужно подставить коэффициенты при x на определенные места в матрице. Коэффициенты при x_i² ставим на соответствующие места x₁₁,x₂₂,x₃₃ (по диагонали) без изменений, а коэффициенты при x_ix_j делим на 2 и ставим симметрично на соответствующие места x_ij,x_ji (то есть x₁₂,x₂₁; x₁₃,x₃₁ и т.д.)

Б)

 

65. /

66. /

67. /

68. Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.

где ; ;

 

69. /

70. /

71. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.

Теорема

Квадратичная форма Ф тогда и только тогда является положительно определенной, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны.

Доказательство

Положительность миноров будем доказывать индукцией по n.

При n=1 единственным угловым минором формы является ; положительная определенность формы Ф равнозначна положительности .

Допустим теперь, что утверждение теоремы справедливо для квадратичных форм от n – 1 переменных, и в этом предположении докажем его для квадратичной формы от n переменных.

Так, пусть дана квадратичная форма

Представим ее в виде

где есть квадратичная форма от переменных При будем иметь поэтому из положительной определенности формы Ф следует положительная определенность Угловые миноры формы совпадают с угловыми минорами формы Ф, поэтому из предположения индукции следует [1]

Положительность минора вытекает из простого рассуждения. Мы знаем, что при замене координат матрица А квадратичной формы преобразуется в матрицу , где P – матрица перехода от новых координат к старым. Применяя теорему об определителе произведения матриц, получим , т.е. и имеют один и тот же знак. Но для формы к которой Ф приводится преобразованием координат, минор , равный произведению , больше нуля; значит, он положителен и для исходного вида формы Ф. Добавляя сюда уже доказанные ранее неравенства [1], получаем требуемое. Теорема доказана.

Из данной теоремы, принимая во внимание F = - Ф, нетрудно получить

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем

Пример

Матрицей квадратичной формы является матрица

Для нее .

Поэтому данная квадратичная форма – положительно определенная.

 

8. Прямые и плоскости в точечном пространстве

72. Выведите канонические уравнения прямой в , проходящей через данные точки и .

73. Выведите уравнение прямой в , проходящей через данную точку в данном направлении .

Если точка принадлежит l, то вектор коллинеарен . Это записывается с помощью равенств

[1]

Уравнения [1] называются каноническими уравнениями прямой l. В действительности уравнения [1] представляют собой систему из двух уравнений

Каждое из которых определяет плоскость (первая из плоскостей параллельна оси z, вторая – оси y).

 

74. Выведите уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ..

Поскольку речь идет о плоскости, проходящей через точку A и параллельной векторам , то искомое уравнение будет

 

75. Выведите уравнение плоскости в , проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору . Приведите пример уравнения плоскости в , проходящей параллельно какой-либо координатной оси.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, тогда необходимо, чтобы вектор AM = (x-a, y-b, z-c) был ортогонален вектору n, то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю:

p(x - a) + q(y - b) + c(z - c) = 0

получили уравнение искомой плоскости.

 

Пример уравнения, проходящего параллельно какой-либо координатной оси:

x=-1. Такая плоскость будет параллельна осям Oy и Oz

 

76. Две прямые заданы каноническими уравнениями и . Найдите угол между ними. Ответ обоснуйте.

Угол между плоскостями сводится к углу между нормалями

 

77. Как найти угол между плоскостями в по их общим уравнениям , ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

 

78. Как найти угол между прямой и плоскостью в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

Направляющий вектор прямой:

Вектор-нормаль плоскости:

 

79. Как найти расстояние от точки до прямой ? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми в ?

Для нахождения расстояния между прямой и точкой нужно воспользоваться формулой: Расстояние между двумя параллельными прямыми можно искать как расстояние между одной из прямых и точкой, принадлежащей другой прямой.

Пример: l1: y - x = 0, и l2: y - x - 1 = 0.

 

80. Как найти расстояние от точки до плоскости ? Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями в ?

Расстояние между двумя параллельными плоскостями можно найти как расстояние между одной из них и точкой, принадлежащей другой плоскости.

 

81. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые и . Ответ обоснуйте.

Назовем прямые L: (х-а)/1=(у-b)/2=(z-c)/3 и М:(x-a)/3=(y-b)/2=(z-c)/1

Полагаем, что точка А (а;b;c) начальная точка, а направляющий вектор для L вектор p(1;2;