Второй способ нахождения коэффициентов

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно тождестве аргументу придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов.

БИЛЕТ4

Интегрирование тригонометрических функций

I Рассмотрим интегралы вида

 

, где — рациональная функция.

 

Такие интегралы всегда рационализируются подстановкой . В самом деле,

 

Выразим далее переменную через переменную . Так как

 

, то , а поэтому .

Значит

 

 

Таким образом, задача свелась к вычислению интеграла от рациональной функции. Поскольку подстановка — позволяет рационализировать любой интеграл вида , то её называют универсальной подстановкой. Любой интеграл этого вида выражается через элементарные функции.

 

БИЛЕТ5

5. Интегрирование иррациональных функций

Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить

 

Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:

 

 

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

 

 

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную

 

 

Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной

 

 

Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.

 

БИЛЕТ6

6. Интегрирование диф. бинома (теорема Чебышёва)

Дифференциальным биномом называют выражение вида

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая, когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой .
2.Второму случаю соответствует целое число . Сделаем подстановку
и положим для краткости , получим

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида , где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

3. Третьему случаю соответствует целому число . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

 

БИЛЕТ7

7.Специальные функции- функции которые выражаются через элементарные функции, представляются в виде рядов или интегралов. Интеграл неберущийся –если подынтегральная функция не является элементарной. Эти интегралы не выражают через элементарные функции, поэтому для них вычисляют вероятности для нормальной распределенной случайной величины этой функции. 3 метода вычислений:1приближенный метод Симсона 2.разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена 3.с помощью таблицы значений функций Лапласа

Примеры: 1. 2. 3. 4.

 

БИЛЕТ8

8. Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х₀=а, x_1, х_2,..., х_n = В (х₀ <x₁ <...< х_n) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х₀;х₁], [x₁; х₂],..., [х_n-1,х_n] (см. рис. 167).

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с_i є [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с_i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с_i) на длину ∆x_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с_i) • ∆х_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим черезλ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆x_i(i = 1,2,..., n).

БИЛЕТ9

9. Физический смысл:

1) если задана скорость как функция от времени, то путь за время Т равен интегралу от скорости по времени;

2) если задано ускорение как функция от времени, то изменение скорости равно интегралу от ускорения по времени;

Геометрический смысл: если функция y(x) больше нуля на промежутке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, равна интегралу от этой функции по переменной х на данном промежутке.

БИЛЕТ10

10. Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

 

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).