Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба



Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);

2) при f"(х) <0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства
f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М00; f(х0)) графика функции у = f(х) называется точкой перегибаэтого графика, если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М0 имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М00; f0)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб

 

Необходимый признак существования точки перегиба.

Если функция в точке х0 имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х0 и f"(х) > 0 при х > х0 или f"(х) > 0 при х < х0 и f"(х) < 0 при х > х0, то М00, (f(х0)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

 


II. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Понятие предела функции

Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х х0), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех х х0, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если или .

Теоремы о пределах

1.

2.

3.

4.

5.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Правило Лопиталя.

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки x0. Если существует предел , то .

 


Односторонние пределы

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А1 называется пределом функции y= f(x) слева в точке х0, если для любого числа существует число такое, что при х выполняется неравенство . Предел слева записывают так: или коротко: (обозначение Дирихле).

Аналогично определяется предел функции справа. Число А2 называется пределом функции y= f(x) справав точке х0, если для любого числа существует число такое, что при х выполняется неравенство . Предел справа записывают так: . Коротко предел справа обозначают f(xo+0)=A2.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при :

.

А также говорят, функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

.

Существует теорема о непрерывности функции в точке. Функция y= f(x) непрерывна в точке x0, тогда и только тогда, когда функция имеет конечные пределы в точке x0 и предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрываэтой функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1. область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения

2. элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках

3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е и .

При этом:

если А12, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва (рис.6)

если , то точка х0 называется точкой конечного разрыва( рис.7).

Величину называют скачком функции

 

Рис. 6. График функции с устранимым разрывом

Рис. 7. График функции с конечным разрывом

 

Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен ∞ (рис.8).

Рис. 8. График функции с точкой разрыва 2-го рода

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-12-12; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.206.177.17 (0.007 с.)