Локальные экстремумы функции одной переменной.

Если для любых Х из 0(х нулевое) справедливо неравенство , то х нулевое называется точкой F(x нулевое)<f(x) локального максимума

Y max(x₀)=y₁, y_min(x₁)=y_2.

Необходимое условие экстермума:

Если в какой-то точке х₀ функция достигает экстремума, то в этой точке производная fштрих (х₀)=0 либо не существует точки,при которой производная превращается в 0 не сущ называется критичными точками или точками возмжного экстремума

Точка, в которой производная=0 называется стационарной

Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума). Пусть х0 – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности U точки х0, не содержащей других критических точек. Тогда: если при переходе через точку х0 производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х0 – точка (локального) максимума функции;

если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с минуса на плюс, х0 – точка (локального) минимума функции;

если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, в точке х0 нет экстремума.

б) Пусть в точке х0 существует вторая производная функции f, f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

если f’’(x0) > 0, х0 – точка (локального) минимума функции;

если f’’(x0) < 0, х0 – точка (локального) максимума функции.

в) Пусть в точке х0 функция дифференцируема n раз, причем

а f(n)(x0) ≠ 0. Тогда:

– если n четно и f(n)(x0) < 0, то х0 – точка (локального) максимума функции;

– если n четно и f(n)(x0) > 0, то х0 – точка (локального) минимума функции;

– если n нечетно, в точке х0 нет экстремума.

 

Выпуклость функции. Точки перегиба

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x0, f (x0)), x0 (a, b).

Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x0, f (x0)), x0 (a, b).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' (x0), то f '' (x0) = 0.

43. Асимптоты графика функций

при исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x®+¥ и x®-¥, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте.

Прямая х=х0 – вертикальная асимптота графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов или равен ± ¥. Нахождение вертикальных асимптот: 1) точки разрыва и граничные точки на области определения 2) вычисляем односторонний предел при х стремящимся к этим точкам.

Прямая y=a – горизонтальная асимптота графика y=f(x), при х®±¥, если .

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х®±¥, если саму функцию y=f(x) можно представить в виде f(x)=kx+b+a(x), где .

Схема нахождения: вычисляем , если этот предел не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. Вычисляем , если его нет или он бесконечен, то асимптоты нет.

ФНп.Частные производные

ФНП. Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную zÎZ, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x;y).

Частные производные первого порядка. Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(х,у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (соответственно х или у считается постоянной величиной).