Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.

Свойства функций, дифференцируемых на отрезке.Теорема Лагранжа

Теорема (Лагранжа) Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках a и b. Тогда найдётся такая точка , что

Формулу можно записать в виде .Если считать, что аргументу a придано приращение , то функция получает приращение . При этих обозначениях формулу мы можем записать в виде в котором участвуют конечные приращения аргумента и функции. Поэтому формулу называют формулой конечных приращений. Доказательство теоремы Лагранжа. Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и -- это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Свойства функций, дифференцируемых на отрезке.Теорема Коши.

Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что

Доказательство. Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

 

при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию

Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и :

Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что .

Вычислим теперь производную функции :

Получаем, что

откуда получаем утверждение теоремы:

Замечание.Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой .

Отношение ,как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь -- это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью, а в теореме Коши -- зависимостью , заданной в параметрической форме.

 

 

Правило Лапиталя-Бернули.

Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределённостей.

Теорема. Если f(x) и g(x) – обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при т.е. если частное представляется в точке x=a неопределённость типа или , то

при условии, что предел отношения производных существует. Правило применимо и в случае, когда a= .Для раскрытия неопределённостей типа будем делать следующие преобразования: в частное ;

в произведение и раскрыть сначала неопределённость ; если , то приводим выражение к виду:

Неопределённости типов раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени

Возрастание и убывание функции

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Иначе говоря, функция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

[1] Иначе говоря, функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.