Уравнение Даниила Бернулли для потока реальной жидкости.

Энергетический баланс потока жидкости определяется уравнением Даниила Бернулли, впервые выведенным им в 1738 г. для элементарной струйки идеальной жидкости (т.е. не имеющей вязкости) при установившемся движении.

В последующем на основании работ как Д.Бернулли, так и других ученых (Л. Эйлера, Г. Кориолиса, Ж. Буссинеска и др.), это уравнение было сформировано для целого потока реальной жидкости, однако в истории науки оно известно как уравнение Даниила Бернулли. Для составления энергетического баланса рассмотрим поток, проходящий по трубопроводу переменного сечения от живого сечения к живому сечению (рис. 25).

 

h w

Рис. 25. Графическое изображение уравнения Д. Бернулли для потока реальной жидкости при установившемся движении:

1 - поток; 2 - пьезометр; 3 - трубка Пито; 4 - линия полной энергии;

- плоскость сравнения.

 

Рассмотрим полную удельную энергию в сечениях относительно плоскости сравнения с учетом ранее полученного уравнения (69):

Полная удельная энергия потока в сечении :

 

(70)

Полная удельная энергия потока в сечении :

 

, (71)

 

Показания пьезометров и скоростных трубок, установленных в сечениях и , демонстрируют, что .

Это вызвано тем, что часть энергии потока расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений при движении жидкости от одного сечения к другому.

Величина называется удельной потерей энергии (или потерей напора) и обозначается . Отсюда на основании закона сохранения энергии запишем следующее уравнение

 

(72)

 

Полученное выражение и называется уравнением Бернулли для потока реальной жидкости.

Влияние вязкости жидкости приводит к неравномерному распределению скоростей в поперечном сечении потока (трубопровода). Поэтому уравнение (72) перепишется в следующем виде:

 

, (73)

 

где - коэффициент, характеризующий неравномерность распределения скоростей (коэффициент Кориолиса).

 

При равномерном движении воды в трубах и каналах небольшого поперечного сечения коэффициент Кориолиса принимается равным 1,05….1,1. В большинстве случаев при практических расчетах полагают

Каждая составляющая уравнения Бернулли имеет геометрический и энергетический смысл.

Все члены уравнения (73) имеют линейную размерность, и каждый из них может называться высотой:

 

	- геометрическая высота, или высота положения,
	- пьезометрическая высота;
	- высота скоростного напора;
	- высота потерь напора.

 

Сформулируем геометрический смысл уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

 

При установившемся потоке реальной жидкости сумма четырех высот (высота положения, пьезометрическая высота, высота скоростного напора и высота потерь напора) есть величина постоянная для любого сечения потока.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: при установившемся потоке реальной жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии положения, энергии давления, кинетической энергии и энергии потерь) остается неизменной для любого сечения потока.

Уравнение Бернулли является основным уравнение гидродинамики, с помощью которого выводятся расчетные формулы для различных случаев движения жидкости, и решается большое количество практических задач равномерного движения жидкости в трубах и открытых руслах.

Для решения этих задач используют два основных уравнения гидродинамики:

1) уравнение Бернулли

 

, (74)

 

2) уравнение неразрывности потока

 

, (75)

 

При решении задач обычно по длине потока выбирают два характерных поперечных сечения ( и ). Горизонтальная плоскость сравнения , как правило, выбирается по оси трубопровода. При этом сечения выбираются с таким расчетом, чтобы для одного из них были известны величины , и , а для другого – одна или две из них были неизвестны и подлежали определению.

Взаимосвязь между тремя параметрами: скоростью, давлением и живым сечением послужила основой для конструирования различных гидравлических и пневматических машин, устройств и приспособлений, получивших широкое применение в технике.

 

 

Примеры практического применения уравнения Д. Бернулли

Трубы Вентури

Уравнение Д. Бернулли является основным законом установившегося движения жидкости. Оно позволяет рассмотреть и понять работу ряда устройств, действие которых основано на использовании этого важнейшего закона. Рассмотрим некоторые из устройств: трубы Вентури, гидродинамические трубки, насосы и карбюраторы.

Трубы Вентури предназначены для измерения расхода жидкости в напорных трубопроводах (рис. 26).

Труба Вентури состоит из входного цилиндрического патрубка 1, входного конуса (конфузора) 5, цилиндрической горловины 6 и длинного диффузора 7.

Для отбора давления к кольцевым камерам 2 и 8 присоединяются пьезометры 3 и 4. В свою очередь кольцевые камеры сообщаются с потоком жидкости через ряд отверстий 9, выполненных по окружности.

В качестве сужающих устройств для измерения расхода в напорных трубопроводах кроме труб Вентури используются диафрагмы и сопла.

	p0

p0

Рис. 26. Схема трубы Вентури:

1 - входной патрубок; 2, 8 - входной патрубок; 3 - пьезометр №1;

4 - пьезометр №2; 5 - входной конус (конфузор); 6 - горловина; 7 - диффузор; 9 - отверстие для отбора давления;

- длина участков; и - диаметры.

 

При выборе типа сужающего устройства надо иметь в виду, что наибольшее гидравлическое сопротивление имеет диафрагма, а наименьшее – труба Вентури.

Перепад давления в сужающих устройствах в производственных условиях измеряется обычно дифференциальными ртутными манометрами, а в лабораторных - пьезометрами.

Метод измерения расхода основан на том, что поток жидкости, протекающей в трубопроводе, неразрывен и, если в одном месте трубы с помощью какого-либо сужающего устройства уменьшить поперечное сечение, то скорость потока на этом участке должна соответственно увеличиться.

Полная энергия жидкости, представляющая собой сумму потенциальной энергии (выраженной величиной давления), и кинетической энергии (выраженной величиной скорости), является, согласно закону сохранения энергии, постоянной, если пренебречь потерями. Тогда при протекании жидкости происходит частичный переход потенциальной энергии в кинетическую. В связи с этим статическое давление в суженном сечении будет меньше давления перед местом сужения.

Разность давлений перед суженным участком трубопровода и в месте его сужения называется перепадом давления. Перепад давления тем больше, чем больше скорость жидкости. Следовательно, перепад давления может служить мерой расхода жидкости.

Зависимость между расходом и перепадом давления можно установить, пользуясь уравнением Бернулли. Для этого выберем на рис. 26 два сечения: сечение перед входом в сужающее устройство в том месте, где еще нет его влияния на характер потока (т.е. во входном патрубке 1); сечение – в месте наибольшего сжатия потока (т.е. в горловине 6).

 

 

Примем, что плоскость сравнения проходит через ось трубы (следовательно, ). Пренебрегая величиной потерь напора, , и неравномерностью распределения скоростей в потоке , для горизонтально установленного водомера уравнение Бернулли (74) запишем в следующем виде:

 

, (76)

 

Из полученного уравнения (76) следует, что с увеличением скорости движения давление уменьшается и, наоборот, с уменьшением скорости давление увеличивается. Это положение и используется в водомере Вентури, где по разности показаний пьезометров , зная диаметры и , можно определить расход .

Выражение (76) можно переписать в следующем виде:

 

(77)

 

где - разность уровней жидкости в пьезометрических трубках, присоединенных к сечениям и , м.

Из уравнения неразрывности потока следует, что

 

, (78)

 

Отсюда , . Подставив значения и в выражение (77), получим

Тогда

.

Или

, (79)

 

где - постоянная водомера заданной конструкции и размеров.

 

Следовательно, зная разность показаний пьезометров, можно определить расход напорного потока жидкости.

Если учесть потери энергии, которыми мы пренебрегали в начальный период, то в полученную формулу (79) следует ввести коэффициент расхода , учитывающий эти потери; .

Окончательно формулу (79) перепишем в виде

 

. (80)