Силы трения и закон распределения скоростей при ламинарном и турбулентном режимах движения жидкости.

При ламинарном режиме движения жидкости в трубе в ней возникают силы трения и она начинает двигаться как бы цилиндрическими бесконечно тонкими слоями с различными скоростями. Скорости слоев жидкости от продольной оси трубопровода к ее стенкам уменьшаются по параболическому закону. На оси трубы они имеют максимальное значение. На поверхности стенок трубы скорость течения равна нулю. Слои жидкости, движущиеся с меньшей скоростью тормозят движение слоев, имеющих большую скорость. Цилиндрические слои жидкости, движущиеся с большей скоростью, скользят по слоям жидкости, движущимся с меньшей скоростью. На поверхностях смежных слоев жидкости благодаря наличию сцепления частиц жидкости между собой и со стенками, ограждающими поток, в процессе скольжения развиваются силы трения. Силы трения, появившиеся на граничащих поверхностях между слоями жидкости, осуществляют тормозящее действие, что и приводит к возникновению разных скоростей движения отдельных частиц жидкости.

Главной причиной возникновения сил трения при движении потока следует считать разность скоростей между движущимися слоями жидкости. Чем больше разность скоростей, тем больше по величине возникающие силы трения, силы гидравлических сопротивлений.

Рассмотрим ламинарный режим движения в цилиндрической трубе (рис. 32). В модели такое движение можно представить состоящим из множества телескопически выдвинутых цилиндров толщиной . Огибающую этих цилиндров можно рассматривать как эпюру скоростей струек.

 

 

Рис. 32. Эпюра скоростей при ламинарном режиме движения

 

Касательное напряжение на боковой поверхности выделенного цилиндра определим в соответствии с законом Ньютона о силе сопротивления в жидкости, а именно

 

 

При направлении координатных осей и , указанном на рис. 32 – ось скорости вдоль оси трубы, ось нормали к направлению скорости – вдоль радиуса , можем записать:

 

 

Знак минус потому, что здесь при имеем .

После подстановки в уравнение равномерного движения получим дифференциальное уравнение распределения скорости в таком виде:

 

 

Проинтегрировав, найдем

 

 

Определим постоянную интегрирования С по условиям на границе. В точке у стенки трубы , т.е. радиусу трубы, а скорость . Тогда

 

и

Следовательно, уравнение примет вид:

 

 

или окончательно

 

(88)

 

Тогда расход потока в трубе

 

(89)

 

Разделив (88) на , найдем среднюю скорость

 

(90)

 

Следовательно, средняя скорость равна половине максимальной.

Потерянный напор найдем из (90), учитывая, что :

 

.

 

Умножив и разделив правую часть на и затем преобразовав, получим:

 

.

 

Но , тогда

 

 

или, обозначив ,

 

. (91)

 

Формула (91), как известно, называется формулой Дарси-Вейсбаха. Здесь - коэффициент гидравлического сопротивления в трубах. Как видно, при ламинарном движении коэффициент является функцией числа Рейнольдса.

 

Турбулентное движение.

 

Турбулентное состояние потока характеризуется непрерывным перемешиванием множества мельчайших водоворотных образований, возникающих у твердых границ и перемещающихся внутрь потока.

Зарождение водоворотных образований обязано вязкости жидкости. На поверхности контакта жидкости и твердых стенок молекулы жидкости и молекулы твердых стенок находятся на расстоянии силового их взаимодействия. В связи с этим частицы жидкости непосредственно у стенок задерживаются, и скорость их равна нулю. Соседние с ними частицы приходят в движение, и их скорость возрастает с удалением от стенок. При этом возникает вращательное движение отдельных масс жидкости.

Сложение двух движений - поступательного и вращательного - возбуждает силу, приложенную к массе частицы и направленную нормально к продольной скорости потока (эффект Магнуса). Под действием этой силы частицы жидкости перемещаются в центральную область потока, образуя процесс перемешивания. Наличие шероховатости стенок содействует такому перемешиванию и в некоторых случаях может оказаться даже главной причиной явления. Этот процесс, очевидно, возможен при достаточно больших скоростях течения, при которых стабилизирующее воздействие вязкости не может воспрепятствовать такому перемешиванию. Известно, что турбулентное движение возникает при скоростях больше (когда число Рейнольдса больше ).

Процесс перемешивания обуславливает возникновение пульсации скоростей, т.е. такое изменение ее величины в данной точке, при котором отклонения от некоторой средней происходят в обе стороны. Объясняется это тем, что через данную точку пространства последовательно проходят разные частицы жидкости с разными скоростями как по величине, так и по направлению.

Обычно наибольшее внимание уделяется явлению пульсации продольной скорости , измеряемой в точке поперечного сечения с помощью различных гидрометрических приборов.

В связи с явлением пульсации турбулентное движение оказывается неустановившимся, и в любой момент времени имеет место мгновенное поле скоростей (и других кинематических параметров потока). При этом возможно говорить о средних значениях скорости за тот или иной промежуток времени. Чем больше промежуток времени осреднения, тем точнее определяется данная величина. Определенная таким образом скорость называется осредненной скоростью в данной точке.

Связь между мгновенной и осредненной скоростью определяется так:

 

,

 

где , , - соответственно мгновенная, осредненная и пульсационная составляющие скорости.

Процесс перемешивания вызывает перенос количества движения из области малых скоростей потока в область больших скоростей и обратно. Очевидно, массы с малыми скоростями при входе в область течений с большими скоростями будут тормозить движение в этой области, т.е оказывать силовое противодействие движению. Это будут силы инерции, и, следовательно, физическая природа турбулентных сопротивлений – инерционная. Масса жидкости с большими скоростями, оказывая давление на присоединенные массы, ускоряют их движение и расходуют при этом свою энергию (при этом ускорении возникают силы инерции).

Прандтль при установлении закона распределения скоростей принял следующую схему течений в трубопроводе.

У стенок трубы скорости принимаются нулевыми, к центру (оси трубы) они постепенно увеличиваются, т.е. у стенок трубы создается ламинарный слой небольшой толщины, за пределами которого располагается центральная основная часть потока – турбулентное ядро. В связи с малыми скоростями течения в ламинарном (пристенном) слое скорости быстро нарастают, градиент скорости здесь велик, и его можно приближенно считать величиной постоянной. В пределах центрального ядра турбулентное течение и изменение скоростей происходят не так интенсивно. Иллюстрация такой схемы показана на рис. 33.

Для ламинарного режима касательные напряжения определяются по формуле Ньютона

 

 

Рис. 33. Эпюра скоростей при турбулентном режиме движения

 

При турбулентном режиме движении

 

. (92)

 

где - путь перемешивания, аналогичен средней длине пробега молекул в кинетической теории газов.

По данным исследований Г.А. Гуржиенко, вблизи стенок трубы зависимость от оказалась линейной, поэтому можно написать

 

(93)

 

где - коэффициент пропорциональности, называемый универсальной постоянной.

По Г.А. Гуржиенко, . Следовательно, . Первый член характеризует вязкостное трение, которое соответствует силам трения в ламинарном движении. Второй член выражает дополнительное касательное напряжение от пульсации, возникающей в турбулентном потоке из-за наличия поперечного движения отдельных частиц жидкости. С увеличением скорости течения (числа Рейнольдса) главное влияние на величину касательных напряжений оказывает второй член в уравнении (92) и при больших числах Рейнольдса касательные напряжения оказываются пропорциональными квадрату градиента скорости.

Благодаря пульсации в турбулентном потоке жидкости закон распределения скоростей по живому сечению иной, чем при ламинарном. При турбулентном движении происходит выравнивание скоростей по сечению.

Для развитого турбулентного режима движения жидкости ввиду малой ее массы, участвующей в пограничном слое, первый член правой части уравнения (92) по сравнению со вторым членом является малой величиной. поэтому им можно пренебречь. Тогда уравнение (92) будет иметь вид

 

(94)

 

Или

 

(95)

 

Подставляя значение в формулу (95) и обозначая , будем иметь

 

, (96)

 

где - называется динамической скоростью, так как имеет размерность скорости.

Примем , тогда после интегрирования дифференциального уравнения (96) получим логарифмический закон распределения скоростей по сечению для турбулентного потока:

 

. (97)

 

 

Лекция 7

Классификация потерь напора

Одним из важнейших вопросов гидромеханики является определение потерь энергии при движении жидкости. При движении жидкости по трубопроводам возникают потери энергии, которые зависят от длины трубопроводов (пропорциональные длине канала) и потери энергии в местных сопротивлениях – запорная арматура, повороты, расширения и сужения трубопроводов – вызываемые изменениями скорости потока либо по величине, либо по направлению. Потери энергии потока как на преодоление сопротивлений по длине трубопроводов, так и на преодоление местных сопротивлений, в конечном счете обусловлены вязкостью жидкости, а, следовательно, теряемая механическая энергия рассеивается и переходит в тепловую.

Важность определения потерь напора (или потерь давления ) связана с необходимостью расчета затрат энергии, требуемых для компенсации этих потерь при перемешивании жидкостей, например, с помощью насосов, компрессоров и т.д.

Потерянный напор является суммой двух слагаемых:

 

(98)

 

где , - потери напора вследствие трения и местных сопротивлений, соответственно.

Для вычисления потерь напора при турбулентном режиме обычно пользуются частными эмпирическими формулами

 

(99)

 

и

 

(100)

 

где		- коэффициент гидравлического трения;
		- коэффициент местного сопротивления;
		- длина трубопровода, ;
		- диаметр трубы, ;
		- средняя скорость движения жидкости в трубопроводе, ;
		- ускорение свободного падения, .

Средняя скорость, входящая в формулы (99) и (100) – эта такая, одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой за единицу времени через данное сечение проходит тот же расход жидкости, что и при действительном распределении скоростей по сечению потока. Среднюю скорость определяют по уравнению расхода

 

(101)

 

где		- объемный расход, т.е. объем жидкости, проходящий через живое сечение потока за единицу времени, жидкости, ;
		- живое сечение потока (в случае течения по трубе, равное площади поперечного сечения трубы, .

 

Из формул (99) и (100) следует, что потери энергии на трение и местные сопротивления пропорциональны скоростному и динамическому напору (), который является мерой кинетической энергии потока, отнесенной к единице объема жидкости. В действительности эта зависимость значительно сложнее, так как коэффициент трения и коэффициент местного сопротивления не являются постоянными величинами, а существенно зависят от скорости течения жидкости, ее плотности и вязкости, а также диаметра и шероховатости трубы, по которой движется поток.

Величина коэффициента трения проявляется по-разному при различных режимах движения потока в трубе. В одном диапазоне чисел Рейнольдса, характеризующих режим движения, на величину влияет в большей степени скорость, в другом диапазоне преобладающее влияние оказывают геометрические характеристики – диаметр и шероховатость трубы (высота выступов шероховатости ).

В связи с этим различают четыре области сопротивления, в которых изменение имеет свою закономерность.

Первая область – область ламинарного потока, ограниченная значениями , в которой зависит от и не зависит от величины , определяется по формуле Пуазейля

 

. (102)

 

При этом значении потери напора по длине трубы пропорциональны скорости в первой степени. Все остальные области сопротивления находятся в зоне турбулентного режима с различной степенью турбулентности.

Вторая область – гидравлически гладкие трубы. Поток в трубе при этом турбулентный, но у стенок трубы сохраняется слой жидкости, в пределах которого движение остается ламинарным. Трубы считаются гидравлически гладкими, если толщина ламинарного слоя больше высоты выступов шероховатости . В этом случае ламинарный слой покрывает неровности стенок трубы и последние не оказывают тормозящего влияния на основное турбулентное ядро потока.

Границу зоны гидравлически гладких труб можно определить из зависимости:

 

(103)

 

Для гидравлически гладких труб, т.е при условии коэффициент может быть определен по формуле:

 

, (104)

 

которая применима при значениях чисел Рейнольдса .

Третья область – переходная от области гидравлически гладких труб к квадратичной области. В этой области толщина ламинарного слоя равна или меньше выступов шероховатости , которые в этом случае выступают как препятствие у стенок, увеличивая турбулентность, а, следовательно, и сопротивление в потоке.

Для определения в переходной области сопротивления применима формула

 

(105)

 

Потери напора по длине трубы в переходной области сопротивления пропорциональны скорости в степени от до .

Четвертая область – гидравлически шероховатых труб или квадратичного сопротивления (автомодельная область). Основное влияние на сопротивление потоку оказывает шероховатость стенок трубы. Чем больше выступы шероховатости , тем большую турбулентность они вызывают, тем больше будут затраты энергии в потоке на преодоление сопротивлений. В квадратичной области сопротивления коэффициент не зависит от скорости, а становится функцией только относительной шероховатости , выражаемой отношением абсолютной шероховатости к диаметру трубы

 

(106)

 

Для автомодельной области в уравнении (105) можно пренебречь вторым слагаемым в квадратных скобках, и оно принимает вид

 

 

. (107)