Давление жидкости на наклонную поверхность

 

Как и любой вектор, сила гидростатического давления, действующая на смоченную часть поверхности S плоской стенки произвольной формы, характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения.

Предположим, что жидкость действует на наклоненную под углом к горизонту стенку ОС (рис. 14).

Определим величину силы абсолютного давления на плоскую фигуру АВ, расположенную на стенке ОС (рис. 14) /4/.

	р0 = ра

S

Р

Р

 

Рис. 14. К вопросу давления жидкости на плоские стенки

 

На рис. 14 линия АВ – проекция плоской фигуры площадью на ось . Для определения силы гидростатического давления выделим на смоченной поверхности элементарную площадку , на которую действует сила

 

 

где		– сила гидростатического давления на поверхности жидкости;
		– сила гидростатического давления, создаваемая столбом жидкости.

 

 

Интеграл здесь выражает статический момент площади фигуры АВ относительно оси Х, т.е.

 

 

где		– расстояние от оси х до центра тяжести фигуры или ;
		– глубина погружения центра тяжести площади фигуры в жидкость.

Подставляем значения в выражение силы Р, имеем:

 

(28)

 

Таким образом, величина абсолютного гидростатического давления равна произведению площади смоченной части плоской стенки на гидростатическое давление в центре тяжести.

Центр давления – точка приложения равнодействующей избыточного гидростатического давления, необходима для определения размеров щитов, затворов и других сооружений.

Для определения координат , центра давления гидростатической силы воспользуемся теоремой Вариньона: если произвольная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил этой системы относительно той же оси, или

 

(29)

 

где		– момент равнодействующей избыточной силы гидростатического давления относительно оси Х (рис. 14), а не абсолютного значения потому, что координата приложения силы будет зависеть только от второй составляющей:
		– сумма моментов, составляющих силу .

Момент равнодействующей относительно оси Х

 

(30)

 

Сумму моментов составляющей силы представим в виде:

 

(31)

 

где

– плечо элементарной силы относительно оси Х.

 

В выражении (31) - момент инерции плоской фигуры АВ относительно оси Х, следовательно

 

(32)

 

Из условия (29) видно, что

 

,

 

тогда координата центра давления

 

(33)

 

Из рисунка 14: заменим выражение

 

(34)

 

Известно также, что

 

, (35)

 

где – момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести (приложение 2).

Подставив (34) и (35) в (33), получим

 

;

или

, (36)

 

где – расстояние от центра тяжести фигуры до оси Х.

Глубина погружения центра давления может быть определена по формуле:

 

(37)

 

 

Вектор силы давления жидкости на

Криволинейную стенку

В отличие от плоской стенки гидростатическое давление в разных точках криволинейной стенки различается не только по величине, но и по направлению. Поэтому силу гидростатического давления, действующую на криволинейную стенку, непосредственно определить нельзя: ее находят через составляющие этого вектора.

	р0

Рz

Рx

dРизб

dРz

dРx

 

Рис. 15. К определению силы давления на криволинейную стенку

 

Рассмотрим криволинейную поверхность АВ, подверженную действию избыточного гидростатического давления (жидкость справа) (рис. 15).

Выделим площадку , центр тяжести которой погружен в жидкость на глубину . На площадку будет действовать элементарная сила избыточного давления :

 

, Н (38)

 

Разложим на составляющие:

- горизонтальная составляющая силы

 

, Н (39)

 

- вертикальная составляющая силы

 

, Н. (40)

 

где - угол составляющей между элементарной площадкой и горизонтальной плоскостью, град.

 

Рассмотрим каждую в отдельную составляющую силы избыточного давления, действующего на криволинейную поверхность АВ.

Элементарная горизонтальная составляющая силы избыточного давления равна

.

 

В то же время

 

.

 

Следовательно

 

.

 

Из рис. 15 видно, что

 

,

 

где - площадь проекции элементарной площадки на вертикальную плоскость, .

Откуда

 

.

 

Горизонтальная составляющая силы избыточного давления после интегрирования равна

 

(41)

где - статический момент инерции всей площади проекции относительно свободной поверхности жидкости, ;

 

 

т.е. статический момент инерции равен произведению площади вертикальной проекции на глубину погружения центра ее тяжести .

Откуда находим

 

(42)

 

Элементарная вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления равна:

 

, или (43)

 

 

Величина является площадью проекции на горизонтальную плоскость . Следовательно

 

.

 

Заметим, что представляет собой бесконечно малый объем бесконечно малой призмы, отмеченной на рис. 15 штриховкой.

Произведение является силой тяжести в этом бесконечно малом объеме :

 

.

 

Отсюда вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления будет равна

 

.

 

После интегрирования находим:

 

;

;

. (44)

 

где - тело давления, .

Объем , являющийся суммой элементарных объемов, называется телом давления.

Тело давления – это объем, ограниченный криволинейной поверхностью АВ, ее проекцией на уровень свободной поверхности АВ и вертикальными плоскостями проецирования.

Полная сила гидростатического давления определяется из выражения

 

(45)

 

где		- горизонтальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, ;
		- вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, .

 

Направление полной силы определяется углом (рис. 15):

 

.

 

Полная сила избыточного гидростатического давления приложена в центре давления.

Вектор полной силы давления должен проходить через точку пересечения ее горизонтальной и вертикальной составляющих, т.е. и под углом .

Таким образом, центр давления для криволинейных поверхностей находится графоаналитическим путем.

Если криволинейная поверхность цилиндрическая, то сила будет проходить через центр радиуса кривизны этой поверхности.