Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность

Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность

,

где - составляющие силы избыточного давления по соответствующим осям.

В случае цилиндрической поверхности

Рх и Рz- горизонтальная и вертикальная составляющие силы Р.

Горизонтальная составляющая избыточного давления Рх равна силе давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности

-манометрическое давление на поверхности жидкости;

- глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности.- площадь вертикальной проекции.

.- площадь вертикальной проекции.

(Если , то )

Вертикальная составляющая Рz равна весу жидкости в объеме тела давления.

Тело давления расположено между вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие цилиндрической поверхности, самой цилиндрической поверхностью и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением.

 

(Если криволинейная поверхность не цилиндрическая Рy определяется как Рх).

Эксцентриситет

Эллипс (e =1/2), парабола (e =1) и гипербола (e =2) с фиксированными фокусом F и директрисой. (|FM| = e |MM'|)

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается “ ” или “ ”.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число . Тогда геометрическое место точек , для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно раз, является коническим сечением. То есть, если есть проекция на то

 

Тело давления - объем жидкости, лежащий над криволинейной поверхностью, между вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением.

Тело давления – это объем, ограниченный криволинейной поверхностью, пьезометрической плоскостью и вертикальными поверхностями, проходящими через периметр криволинейной поверхности.

F_верт = g*V_тд

 

 

11. Закон Архимеда. Вывод уравнения для определения Архимедовой силы. Центр водоизмещения. Условия плавания и остойчивости тела. Метацентр. Метацентрическая высота. Ватерлиния. Осадка. Запас плавучести.

Закон Архимеда

Закон Архимеда формулируется следующим образом^[1]: на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа) в объёме тела. Сила называется силой Архимеда:

где — плотность жидкости (газа), — ускорение свободного падения, а — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Тело плавает, если сила Архимеда уравновешивает силу тяжести тела.

Следует заметить, что тело должно быть полностью окружено жидкостью (либо пересекаться с поверхностью жидкости). Так, например, закон Архимеда нельзя применить к кубику, который лежит на дне резервуара, герметично касаясь дна.

Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела.

где P_A, P_B — давления в точках A и B, ρ — плотность жидкости, h — разница уровней между точками A и B, S — площадь горизонтального поперечного сечения тела, V — объём погружённой части тела.

 

Тот факт, что на погруженное в воду тело действует некая сила, всем хорошо известен: тяжелые тела как бы становятся более легкими – например, наше собственное тело при погружении в ванну. Купаясь в речке или в море, можно легко поднимать и передвигать по дну очень тяжелые камни – такие, которые не удается можем поднять на суше; то же явление наблюдается, когда по каким-либо причинам выброшенным на берегу оказывается кит – вне водной среды животное не может передвигаться – его вес превосходит возможности его мышечной системы. В то же время легкие тела сопротивляются погружению в воду: чтобы утопить мяч размером с небольшой арбуз требуется и сила, и ловкость; погрузить мяч диаметром полметра скорее всего не удастся. Интуитивно ясно, что ответ на вопрос – почему тело плавает (а другое – тонет), тесно связан с действием жидкости на погруженное в нее тело; нельзя удовлетвориться ответом, что легкие тела плавают, а тяжелые – тонут: стальная пластинка, конечно, утонет в воде, но если из нее сделать коробочку, то она может плавать; при этом ее вес не изменился. Чтобы понять природу силы, действующей на погруженное тело со стороны жидкости, достаточно рассмотреть простой пример (рис. 1).

Кубик с ребром a погружен в воду, причем и вода, и кубик неподвижны. Известно, что давление в тяжелой жидкости увеличивается пропорционально глубине – очевидно, что более высокий столбик жидкости более сильно давит на основание. Гораздо менее очевидно (или совсем не очевидно), что это давление действует не только вниз, но и в стороны, и вверх с той же интенсивностью – это закон Паскаля.

Если рассмотреть силы, действующие на кубик (рис. 1), то в силу очевидной симметрии силы, действующие на противоположные боковые грани, равны и противоположно направлены – они стараются сжать кубик, но не могут влиять на его равновесие или движение. Остаются силы, действующие на верхнюю и на нижнюю грани. Пусть h – глубина погружения верхней грани,  – плотность жидкости, g – ускорение силы тяжести; тогда давление на верхнюю грань равно

 · g · h = p ₁

а на нижнюю

 · g (h+a) = p ₂

Сила давления равна давлению, умноженному на площадь, т.е.

F ₁ = p ₁ · a \up122, F ₂ = p ₂ · a \up122, где a – ребро кубика,

причем сила F ₁ направлена вниз, а сила F ₂ – вверх. Таким образом, действие жидкости на кубик сводится к двум силам – F ₁ и F ₂ и определяется их разностью, которая и является выталкивающей силой:

F ₂ – F ₁ =  · g · (h+a) a \up122 – gha · a ² = pga ²

Сила – выталкивающая, так как нижняя грань, естественно, расположена ниже верхней и сила, действующая вверх, больше, чем сила, действующая вниз. Величина F ₂ – F ₁ = pga ³ равна объему тела (кубика) a ³, умноженному на вес одного кубического сантиметра жидкости (если принять за единицу длины 1 см). Другими словами, выталкивающая сила, которую часто называют архимедовой силой, равна весу жидкости в объеме тела и направлена вверх. Этот закон установил античный греческий ученый Архимед, один из величайших ученых Земли.

Если тело произвольной формы (рис. 2) занимает внутри жидкости объем V, то действие жидкости на тело полностью определяется давлением, распределенным по поверхности тела, причем заметим, что это давление совершенно не зависит от материала тела – («жидкости все равно на что давить»).

Для определения результирующей силы давления на поверхность тела нужно мысленно удалить из объема V данное тело и заполнить (мысленно) этот объем той же жидкостью. С одной стороны, есть сосуд с жидкостью, находящейся в покое, с другой стороны внутри объема V – тело, состоящее из данной жидкости, причем это тело находится в равновесии под действием собственного веса (жидкость тяжелая) и давления жидкости на поверхность объема V. Так как вес жидкости в объеме тела равен pgV и уравновешивается равнодействующей сил давления, то величина ее равна весу жидкости в объеме V, т.е. pgV.

Сделав мысленно обратную замену – поместив в объеме V данное тело и отметив, что эта замена никак не скажется на распределении сил давления на поверхность объема V, можно сделать вывод: на погруженное в покоящуюся тяжелую жидкость тело действуют направленная вверх сила (архимедова сила), равная весу жидкости в объеме данного тела.

Аналогично можно показать, что если тело частично погружено в жидкость, то архимедова сила равна весу жидкости в объеме погруженной части тела. Если в этом случае архимедова сила равна весу, то тело плавает на поверхности жидкости. Очевидно, что если при полном погружении архимедова сила окажется меньше веса тела, то оно утонет. Архимед ввел понятие «удельного веса» , т.е. веса единицы объема вещества:   pg; если принять, что для воды  , то сплошное тело из вещества, у которого   утонет, а при   будет плавать на поверхности; при   тело может плавать (зависать) внутри жидкости. В заключение заметим, что закон Архимеда описывает поведение аэростатов в воздухе (в покое при малых скоростях движения).

 

Центр величины

центр водоизмещения — Центр объема жидкости, вытесненной плавающим телом в связанной с ним системе отсчета

 

Схема плавающего судна. Центр величины обозначен B

Центр величины (ЦВ) — в теории корабля — точка приведения сил плавучести, действующих на судно. Известен также как центр водоизмещения тела.

Поскольку силы плавучести являются по природе силами давления, они действуют распределенно на всю поверхность погруженного объёма. Для расчетов удобно привести их, то есть выразить через одну равнодействующую силу, приложенную в одной точке.

Иллюстрация центра величины

Иначе говоря, центр величины — это воображаемая точка приложения равнодействующей сил плавучести.

Метацентр

Поперечное наклонение плавающего судна. Метацентр обозначен M. Центр величины обозначен B

Метацентр (от греч. μετα — через и лат. centrum — средоточие) — центр кривизны траектории, по которой перемещается центр величины в процессе наклонения судна. При малых наклонениях судна (примерно, до 10 градусов) метацентр можно считать неподвижным, при больших наклонениях метацентр начинает смещаться. Возвышение метацентра над центром тяжести судна называется метацентрической высотой.

В теории корабля различают два метацентра:

• при наклонении судна в поперечной плоскости (крен), метацентр является поперечным, или малым.
• при наклонении судна в продольной плоскости (дифферент) — продольным, или большим.

На практике судно испытывает наклонения в обеих плоскостях, и если определить для этого случая метацентр, он будет лежать выше поперечного, но ниже продольного. С этой точки зрения метацентрические высоты, рассматриваемые в теории, являются предельными.

Метацентрическая высота

Отрезок mG — метацентрическая высота.

Метацентрическая высота — критерий остойчивости судна. Представляет собой возвышение метацентра над центром тяжести плавающего тела. Чем больше этот параметр, тем выше начальная остойчивость судна. При приобретении отрицательного значения метацентрической высоты судно утрачивает способность плавать без крена. Ответить на вопрос «перевернется ли судно, имеющее отрицательную метацентрическую высоту» не представляется возможным, так как метацентрическая теория остойчивости верна лишь при наклонениях судна, не превышающих 10 градусов.

Тем не менее, в Правилах классификационных обществ, осуществляющих надзор за технической эксплуатацией судов (Российский Речной Регистр, Российский Морской Регистр Судоходства и др.), запрещена эксплуатация судов, имеющих метацентрическую высоту менее 0,2 м. Характерным примером тела, имеющего нулевую метацентрическую высоту, является симметричный плавающий бочонок. При нахождении в спокойной воде такой бочонок будет совершать вращение вдоль продольной оси под воздействием любых внешних сил (например ветра).

 

Ватерли́ния (нидерл. waterlinie) — линия соприкосновения спокойной поверхности воды с корпусом плавающего судна. Также — в теории корабля элемент теоретического чертежа: сечение корпуса горизонтальной плоскостью.

Различают следующие ватерлинии:

· конструктивная ватерлиния (КВЛ) — то есть расчетная, определяемая для нормального водоизмещения. Положением этой ватерлинии определяется деление корабля на надводную и подводную части^[1];

· грузовая ватерлиния — рассчитанная для заранее определенной нагрузки и условий плавания;

· действующая ватерлиния — текущая, при данной нагрузке и условиях;

· теоретические ватерлинии — набор сечений через равные расстояния, формирующий один из видов теоретического чертежа: план.

Изменение действующей ватерлинии в зависимости от осадки

Действующая ватерлиния определяется формой судна, его средней плотностью, а также степенью волнения воды в данном бассейне. Площадь ватерлинии используется для вычисления коэффициента полноты корпуса. Форма площади ватерлинии, точнее ее момент инерции является фактором, определяющим устойчивость формы. Очевидно, в зависимости от условий нагрузки, крена и дифферента форма площади ватерлинии, а с ней и устойчивость, могут меняться.

Длина по ватерлинии служит характерным линейным размером в определении числа Фруда для водоизмещающих судов, и соответственно, их теоретической скорости.

 

 

Осадка (англ. Draft) — в военном и гражданском кораблестроении — глубина погружения корабля или судна в воду.

Различают следующие виды осадки.

1. Проектная или расчётная осадка, или вертикальное расстояние от верхней кромки киля до уровня главной ватерлинии, измеренное на половине длины корпуса. В технической документации обозначается как T.

2. Проектная осадка по мидельшпангоуту — расстояние от ватерлинии до наружной кромки обшивки у киля.

3. Осадка носом, измеряемая по носовой точке погружения, или у носовой марки.

4. Осадка кормой, измеряемая по кормовой точке погружения, или у кормовой марки.

5. Средняя осадка — среднее арифметическое значение носовой и кормовой осадки.

Для измерения осадки на корпусе корабля наносятся марки углубления. В большинстве флотов мира марки углубления наносятся по вертикали от концевых точек прямой линии киля до главной ватерлинии с обоих бортов судна. В англо-саксонских странах (но не только в них) долей марки является фут.

Для судов с большой осадкой затруднён, либо невозможен вход в мелководные районы моря, гавани, порта, а также в устья рек.

 

 

Запас плавучести

Под плавучестью корабля понимают его способность оставаться на плаву при заданной нагрузке. Эта способность характеризуется запасом плавучести, который выражается как процент объёма водонепроницаемых отсеков выше ватерлинии к общему водонепроницаемому объёму. Любое нарушение непроницаемости ведёт к снижению запаса плавучести. Для корабля (судна), у которого корпус водонепроницаем по главную палубу:

W = V_н / V_o * 100,

где V_н — объём подпалубных помещений над ватерлинией, V_o — весь объём подпалубных помещений.

 

Виды движения жидкости (установившееся, неустановившееся, равномерное, неравномерное, напорное, безнапорное). Элементы потока жидкости (линия тока, поверхность тока, трубка тока, элементарная струйка, площадь живого сечения). Понятие расхода жидкости. Определение скорости осредненной по живому сечению.

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Неустановившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. u и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.:

и .

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

Установившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. u и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения:

и ,

и, следовательно, , , , .

Кроме того, установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется тем, что скорости, форма и площадь сечения потока не изменяются по длине потока.

Неравномерное движение отличается изменением скоростей, глубин, площадей сечений потока по длине потока.

Среди неравномерно движущихся потоков следует отметить плавно изменяющиеся движения, характеризующееся тем, что:

· линии тока искривляются мало;

· линии тока почти параллельны, и живое сечение можно считать плоским;

· давления в живом сечении потока зависят от глубины.

Напорное движение происходит в тех случаях, когда поток ограни­чен твердыми поверхностями со всех сторон, при этом в любой точке потока гидродинамическое давление отличается от атмосферного и может быть больше или меньше атмосферного. Движение в этом слу­чае происходит под действием давления (напора), создаваемого, нап­ример, насосом или водонапорной башней, - движение в водопровод­ных и других трубах.

Безнапорное движение отличается тем, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением. Безнапорное движение происходит под действием сил тяжести.

 

Рассмотрим поток жидкости в некоторый момент времени. Для наглядного представления общей картины течения жидкости в каждый данный момент мысленно проведем так называемую линию тока, т.е. линию, в каждой точке которой в данное мгновение вектор скорости жидкости совпадает с направлением касательной к этой линии. При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями движущихся частиц. Построим замкнутый контур, образующий малую площадку dS, и через все точки данного контура проведем линии тока. Эти линии образуют поверхность, называемую трубкой тока. Часть потока, заключённая внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Совокупность элементарных струек образует поток. При решении многих задач гидродинамики делаются предположения о том, что:

а) поток жидкости состоит из отдельных элементарных струек, которые в случае установившегося движения не меняют во времени своей формы;

б) поверхность элементарной струйки является как бы непроницаемой для частиц жидкости, движущихся в данной и соседней струйках;

в) вследствие малости поперечного сечения элементарной струйки скорости во всех точках ее поперечного сечения можно считать одинаковыми.

Такая модель жидкости называется струйной моделью движения жидкости. Данное представление о структуре потока упрощает его теоретическую интерпретацию.

Живое сечение элементарной струйки dS (м2) – элементарно малая площадка, являющаяся площадью поперечного сечения струйки, нормального к линии тока.

Живое сечение потока S (м2) – площадь поперечного сечения, нормального к вектору средней скорости.

Средней скоростью движения жидкости v (м/с) в рассматриваемом живом сечении называется скорость, с которой должны были бы двигаться все частицы жидкости через данное живое сечение, чтобы расход всего потока был равен расходу, соответствующему действительным скоростям частиц.

Расходом жидкости Q (м3/с) в рассматриваемом сечении называется объем жидкости W (м3), проходящий в единицу времени t (с) через живое сечение потока.

Расход равен сумме расходов элементарных струек:

Q=∫_s dQ = ∫_sudS.