Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

(уравнения Л. Эйлера)

Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для ввода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами , , и с центром в точке А, ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ; ; (рис. 3).

На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил .

Установим связь между гидростатическим давление в точке А () и массовыми силами.

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда

 

; ; ;

 

; ; .

 

 

 

Рис. 3. К выводу уравнения Л. Эйлера

 

Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.

 

; и т.д.

 

Здесь ; и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.

Равнодействующая массовых сил .

 

Условие равновесия выделенного параллелепипеда:

 

; ;

 

Рассмотрим случай .

 

,

 

или в развернутом виде:

 

 

где ;

– проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .

После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей ; .

 

Таким образом, условием равновесия жидкости будет

(13)

 

В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.

Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координат осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.

 

 

Уравнение гидростатики

Умножим каждый из членов, входящих в систему (13) дифференциальных уравнений, соответственно на ; ; и просуммируем их. В результате этих действий получим:

 

(14)

Уравнение (14) является аналитическим выражением распределения гидростатического давления жидкости.

Для случая покоящейся жидкости гидростатическое давление . Следовательно, правая часть уравнения (14) представляет полный дифференциал давления .

Таким образом, приведенное выше уравнение (14) приобретает следующий вид:

 

(15)

Применим уравнение (15) к случаю абсолютного покоя жидкости, когда массовой силой является только сила тяжести. При принятом направлении координатных осей проекции этой силы будут:

 

; ; ,

 

а уравнение (15) применительно к точке получает вид:

 

.

 

После интегрирования получим:

 

 

При – давление на свободной поверхности, а – глубина погружения в жидкости точки, для которой определяется давление:

 

(16)

 

где		– давление на свободной поверхности;
		– плотность жидкости.

 

Уравнение (16) называется основным уравнением гидростатики.

 

Закон Паскаля

«Если жидкость находится в состоянии покоя, то изменение давления на любой внешней поверхности, возникающее от действия внешних сил, передается без изменения во все точки объема, занимаемого данной жидкостью».

Доказательство из уравнения (16).

Абсолютное давление в т. А при размещении поршня в положении – (рис.3):

 

(17)

 

После перемещения поршня в положение (рис. 3а) давление на свободной поверхности увеличится на величину и будет равно , а абсолютное давление в т. А будет равно

 

,

т.е. при изменении давления на свободной поверхности на , на эту же величину увеличится давление в точке А.

 

Рис. 3а. Схема действия давления по закону Паскаля.

 

Эта идея использована Паскалем в принципиальной концепции гидропроцесса.

 

Пьезометрическая высота

Слово «пьезометрическая» от греческого означает «давление»+«мера».

В закрытом сосуде с жидкостью установим две трубки на уровне ВА, причем у одной из них запаян конец и отсутствует давление (), а другая имеет открытый конец () (рис. 4). называется атмосферным давлением окружающего нас воздуха. Это давление изменяется во времени и с изменением высоты местности. За нормальное атмосферное давление принимается , что соответствует столба пресной воды и столба ртути. При решении задач за атмосферное давление принимают .

Внутри сосуда зададим давление . Жидкость в правой трубке поднимается на высоту , получившей название избыточной пьезометрической высоты; в левой трубке жидкость поднимается на уровень , получившей название абсолютной пьезометрической высоты, а называется абсолютным давление в точке А.

 

Рис. 4. Пьезометрическая высота.

 

Вакуум – разность между атмосферным и абсолютным давлением - «пустота» (лат.) или недостаток давления (рис. 5)

 

(18)

 

 

 

Рис. 5. Схема измерения вакуума

 

 

Напор

Рассмотрим точку К (рис. 6) на произвольной глубине h по отношению к плоскости сравнения 0 – 0. В точке К установим пьезометр. Пьезометрический напор

 

 

где – геометрический напор.

Аналогично определим напор в точке С:

 

 

Очевидно, что .

Отсюда следует, что напор состоит из удельной потенциальной энергии давления и удельной потенциальной энергии положения (геометрический напор).

 

Далее опустим в сосуд на малую глубину трубку Е, предварительно выкачав из нее воздух. По этой трубке жидкость поднимается на высоту равную приведенной пьезометрической высоте. Сумма двух линейных величин и называют гидростатическим напором:

 

Рис 6. Схема расчета напора

 

(19)

 

Таким образом, при учете гидростатического напора учитывают атмосферное давление .