Уравнение постоянства расхода

Уравнение постоянства расхода

 

Основные теоретические сведения

 

Объёмным расходом потока Q называется объём жидкости V, проходящий в единицу времени t через живое сечение потока, м³/с:

 

Q = . (6.1)

 

Массовым расходом потока Q_m называется масса жидкости m, проходящий в единицу времени t через живое сечение потока, кг/с:

 

Q_m = . (6.2)

 

Уравнение неразрывности течения (сплошности потока) в интегральной форме в случае одномерного приближения принимает вид уравнения постоянства расхода:

· для слобосжимаемой (или трудносжимаемой) жидкости (r = const) это уравнение постоянства объёмного расхода – объёмный расход потока вдоль по течению неизменен.

 

Q = v × w, (6.3)

 

где Q – объёмный расход, м³/с;

v – средняя скорость в живом (поперечном) сечении потока, м/с;

w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

· для сжимаемой жидкости (r ¹ const) это уравнение постоянства массового расхода – массовый расход потока вдоль по течению неизменен.

 

Q_m = r × v × w, (6.4)

 

где Q_m – массовый расход, кг/с

r – плотность жидкости, кг/м³.

 

Примеры решения задач

 

Пример № 6.1. Определите массу жидкости плотностью 780 кг/м³, которая пройдёт через живое сечение круглого напорного трубопровода диаметром d = 0,2 м за 10 минут. Средняя скорость жидкости в поперечном сечении потока v равна 1,5 м/с.

 

Решение

 

Массу жидкости, проходящую через живое сечение трубопровода за время t можно определить из уравнения (6.2) Q_m = :

 

m = Q_m × t.

 

В системе СИ время t = 10 × 60 = 600 с.

Массовый расход жидкости определяем, используя уравнение постоянства массового расхода (6.4). Учитываем, что для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения w = .

 

Q_m = r × v × w = r × v × ;

 

Q_m = 780 × 1,5 × = 36,738 (кг/с).

 

Искомая масса жидкости равна:

 

m = 36,738 × 600 = 22042,8 (кг).

 

Пример № 6.2. Определите размер квадратного напорного трубопровода. За 3 минуты через поперечное сечение трубопровода проходит 7,2 м³ жидкости постоянной плотности. Средняя скорость потока в живом сечении составляет 1,0 м/с.

 

Решение

 

Размер, то есть сторону квадратного напорного трубопровода при r = const можно определить из уравнения постоянства объёмного расхода (6.3) Q = v × w:

 

w = .

 

Для квадратного напорного трубопровода площадь живого (поперечного) сечения потока w = a². Тогда размер трубопровода равен:

 

а = .

 

По уравнению (6.1) объёмный расход потока Q равен:

 

Q = .

 

В системе СИ время t = 3 × 60 = 180 с.

 

Q = = 0,04 (м³/с).

 

w = = 0,04 (м²).

 

а = = 0,2 (м).

 

 

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости (без учёта потерь энергии)

 

Примеры решения задач

 

Пример № 7.1. Определить расход жидкости Q в горизонтальном трубопроводе диаметром d₁ = 0,2 м, имеющем сужение диаметром d₂ = 0,12 м (рис. 7.1). Разность показаний пьезометров D h = 250 мм.

 

Дано: d₁ = 0,02 м;

d₂ = 0,12 м;

D h = 250 мм = 0,25 м.

 

Рисунок 7.1 Определить: Q.

 

Решение

 

Составим уравнение Бернулли (энергии) без учёта потерь энергии для двух сечений: 1-1 и 2-2:

 

z₁ + + a₁ × = z₂ + + a₂ × .

 

Для горизонтального трубопровода z₁ = z₂. Обозначим пьезометрические высоты h₁ = , а h₂ = . Разность показаний пьезометров равна D h = h₁ - h₂. Уравнение Бернулли принимает вид:

 

D h = a₂ × - a₁ × .

 

Из уравнения неразрывности v ₁ × w₁ = v ₂ × w₂ выразим скорость во втором сечении:

 

v ₂ = v ₁ × .

 

Для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения потока w = . Тогда

 

v ₂ = v ₁ × .

 

Подставляя это выражение в уравнение Бернулли имеем:

 

D h = a₂ × - a₁ × .

 

Считаем, что течение жидкости в трубопроводе турбулентное. Принимаем коэффициент Кориолиса a₁ = a₂ = a = 1,1.

 

D h = a × .

 

v ₁ = = = 0,815 (м/с).

 

Объёмный расход равен:

 

Q = v ₁ × w₁ = v ₁ × = 0,815 = 0,0256 (м³/с).

 

Пример № 7.2. Жидкость вытекает из резервуара большого сечения по горизонтальному трубопроводу переменного сечения. Определить расход Q в горизонтальном трубопроводе (рис. 7.2), скорость на каждом из участков v_i и построить пьезометрическую линию . Напор над центром отверстия, к которому присоединён трубопровод, Н равен 5 м. Диаметры различных участков трубопровода соответственно равны: d₁ = 15 мм, d₂ = 20 мм, d₃ = 10 мм.

Дано: Н = 5 м;

d₁ = 15 мм = 0,015 м;

d₂ = 20 мм = 0,020 м;

d₃ = 10 мм = 0,010 м.

Определить: Q, v₁, v₂, и v₃.

 

 

Рисунок 7.2 Решение

 

Составим уравнение Бернулли (энергии) без учёта потерь энергии для двух сечений: 0-0 (свободная поверхность жидкость в резервуаре, из которого истекает жидкость) и 3-3 (выходное сечение трубопровода):

 

z₀ + + a₀ × = z₃ + + a₃ × .

 

Здесь р₀ – давление на свободную поверхность жидкости в открытом резервуаре равно атмосферному давлению, то есть р₀ = р_бар. р₃ – давление в выходном сечении трубопровода. Оно равно давлению той среды, куда происходит истечение. В данном случае р₃ = р_бар.

Горизонтальную плоскость сравнения совместим с осью трубопровода переменного сечения. Тогда z₀ = Н, а z₃ = 0.

Скорость на свободной поверхности жидкости в резервуаре v₀ пренебрежимо мала по сравнению со скоростью жидкости в трубопроводе переменного сечения v_i. Поэтому полагаем, что v₀» 0.

Принимаем, что коэффициент Кориолиса a. ₃ =1,0. (На практике мы обычно имеем дело с турбулентным движением жидкости.). Уравнение Бернулли имеет вид:

 

Н + + 0 = 0 + + 1 ×

или

Н = .

Отсюда

v₃ = = = 9,9 (м/с).

 

Используя уравнение неразрывности течения определяем расход жидкости в трубопроводе:

 

Q = v₃ × w₃ = v × = 9,9 × = 0,00078 (м³/с).

 

Используя это же уравнение, определяем скорости на участках диаметром d₁ и d₂:

 

Q = v₁ × w₁. Þ v₁ = = = = 4,42 (м/с);

 

Q = v₂ × w₂. Þ v₂ = = = = 2,48 (м/с).

 

Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учёта потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) - будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0-0. Пьезометрическая линия расположиться ниже напорной линии на величину в каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величины в сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезометрическую линию. При этом

 

= = 0,987 (м);

 

= = 0,312 (м);

 

= = 5 (м).

 

 

Рисунок 7.3 – Построение пьезометрической линии

 

 

Примеры решения задач

 

Пример № 8.1. При каком режиме будет протекать вода с температурой = 15 °С в открытом прямоугольном лотке, если объёмный расход жидкости Q равен 0,56 м³/с, глубина воды в лотке b = 0,7 м, а ширина лотка b = 0,8 м.

Дано = 15 °С;

Q = 0,56 м³/с;

h = 0,7 м;

b = 0,8 м.

 

Решение

 

При температуре = 15 °С коэффициент кинематической вязкости воды n = 1,15 × 10^-6 м²/с [прил.?].

Для определения режима течения необходимо сравнить расчётное число Рейнольдса Re с критическим значением. Принимаем, что критическое значение числа Рейнольдса равно Re_кр = 2320.

Расчётное число Рейнольдса определяем по формуле:

 

Re_{d экв} = ,

 

где v -средняя скорость течения воды в открытом лотке;

- диаметр эквивалентный, м;

n - кинематический коэффициент вязкости м²/с.

Среднюю скорость течения воды в открытом лотке определяем из уравнения неразрывности течения

 

Q = v × w,

 

где w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м². Для прямоугольного лотка площадь живого сечения равна

 

w = h × b.

Тогда

v = = = = 1,0 м/с.

 

Диаметр эквивалентный d_экв – это отношение четырёх площадей живого сечения потока w к смоченному периметру c:

 

d_экв =

 

Смоченный периметр c (хи) – часть периметра живого сечения, на которой жидкость соприкасается с твёрдыми стенками. Для открытого прямоугольного лотка смоченный периметр равен c = h + h + h = 2 × h + b.

 

d_экв = = = = = 1,02 м.

 

Re_{d экв} = = 886956,52.

 

Re > Re_кр, следовательно режим движения турбулентный.

 

Пример № 8.2. По напорному трубопроводу переменного сечения подаётся жидкость с объёмным расходом Q = 0,6 л/с. Кинематический коэффициент вязкости жидкости 3,2×10^-6 м²/с. Определите диаметр, при котором произойдёт смена режима движения.

Дано Q = 0,6 л/с = 0,6×10^-3 м³/с;

n = 3,2×10^-6 м²/с.

 

Решение

 

Смена режима движения происходит при Re_кр = для цилиндрических напорных труб:

 

Re_кр = = 2000…2320,

 

где v -средняя скорость в поперечном сечении потока;

d - диаметр трубопровода, м;

n - кинематический коэффициент вязкости м²/с.

Среднюю скорость течения жидкости выразим из уравнения неразрывности течения Q = v × w:

 

v = ,

 

где w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

Для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения потока равна:

 

w = .

Тогда

v = = .

 

Подставляем это выражение в формулу для определения числа Рейнольдса:

 

Re_кр = = = .

 

Отсюда диаметр, при котором происходит смена режима течения, равен:

 

d = .

 

Принимаем, что критическое значение числа Рейнольдса равно Re_кр = 2320. Тогда

 

d = = 0,1 (м).

 

Примеры решения задач

 

Пример № 10.1. Определить потери давления на трение D р_тр в стальной трубе квадратного сечения. Длина трубы l = 80 м, площадь живого сечения w = 2,25×10^-2 м², средняя скорость движения воды v = 5 м/с, температура воды 20 ⁰С.

 

Справочные данные

 

- плотность воды r = 998,2 кг/м³;

- абсолютная эквивалентная шероховатость k_э = 0,05 мм;

- кинематический коэффициент вязкости n = 1,01´10^-6 м²/с.

 

Решение

 

Потери давления на трение определяем по формуле Дарси-Вейсбаха:

 

D р_тр = l × × r × ,

 

где d_экв – эквивалентный диаметр рассматриваемого участка трубы, м;

- коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

- длина трубопровода, м;

- диаметр трубопровода, м;

r - плотность жидкости, кг/м³;

v – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Диаметр эквивалентный d_{эк в} равен отношение четырёх площадей живого сечения потока w к смоченному периметру c. Для трубопровода квадратного сечения со стороной а диаметр эквивалентный равен:

 

d_экв = = = а.

 

Величину а определяем из площади квадрата (w = а²). а = = = 0,15 м.

Определяем режим течения жидкости в трубопроводе:

 

Re = = = 742574,26.

 

Значение числа Рейнольдса больше критического (Re_кр = 2320), следовательно, режим течения жидкости турбулентный.

Определяем значение критерия зоны турбулентности:

 

Re × = 742574,26 × = 247,86.

 

Значение критерия зоны сопротивления находится в пределах от 10 до 500, следовательно движение происходит в области смешанного сопротивления, для которой справедлива формула Альтшуля:

 

l = 0,11 × = 0,11 × = 0,0158.

 

Потери давления на трение равны:

 

D р_тр = 0,0158 × × 998,2 × = 105143,73 Па.

 

Пример № 10.2. Определить потери напора и гидравлический уклон при подаче воды со скоростью v = 0,2 м/с через умеренно заржавленную стальную трубку диаметром d = 50 мм и длиной l = 60 м при температуре воды 10 ⁰С.

 

Справочные данные

 

- кинематический коэффициент вязкости n = 1,31´10^-6 м²/с;

- абсолютная эквивалентная шероховатость k_э = 0,45 мм.

 

Решение

 

Потери напора на трение определяем по формуле Дарси-Вейсбаха:

 

D h_тр = l × × ;

 

где - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

- длина трубопровода, м;

- диаметр трубопровода, м;

v – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Определяем режим течения жидкости в трубопроводе:

 

Re = = = 7633,59.

 

Значение числа Рейнольдса больше критического (Re_кр = 2320), следовательно, режим течения жидкости турбулентный.

Определяем значение критерия зоны турбулентности:

 

Re × = 7633,59 × = 9,16.

 

Значение критерия зоны сопротивления меньше 10, следовательно движение происходит в области «гидравлически гладких» труб, для которой справедлива формула Блазиуса:

 

l = = = 0,0338.

 

D h_тр = 0,0338 × × = 0,083 м.

 

Гидравлическим уклоном i называется отношение потерь напора D h_тр к длине участка l, на котором эти потери происходят:

 

i = = = 0,00138 м/м.

 

Примеры решения задач

 

Пример № 11.1.

В качестве нагревательных приборов системы отопления использованы стальные трубы d₁ = 0,6 м. Стояк, подводящий нагретую воду, и соединительные линии выполнены из труб диаметром d₂ = 0,025 м и приварены к торцам нагревательных труб (рис. 9.1). Определить суммарные потери давления на участке между сечениями А-А и В-В, если скорость движения горячей воды в подводящих линиях v₂ = 1,0 м/с. Радиус поворота нагревательной трубы R_п = 0,6 м, а длина нагревательной трубы l₁ = 4,0 м. Температура воды = 90 ⁰С.

Дано: d₁ = 0,6 м;

l₁ = 4,0 м;

R_п = 0,6 м;

d₂ = 0,025 м;

v₂ = 1,0 м/с;

= 90 ⁰С.

Справочные данные: r = 965,3 кг/м³;

n = 0,33×10^-6 м²/с;

k_э = 6,5×10^-4 м;

при плавном повороте трубопровода круглого сечения на 180⁰ а = 1,33.

Определить: р_пот.

 

Решение

 

Общие потери давления в системе между сечениями А-А и В-В русел равны арифметической сумме потерь давления по длине l₁ и всех потерь, вызванных отдельными местными сопротивлениями (внезапное расширение, плавный поворот на 180⁰ и внезапное сужение).

 

р_пот = + = D р_{тр 1} + D р_{м в.р} +D р_{м 180} +D р_{м в.с.}.

 

Потери давления на трение по длине на участке длиной l₁ определяем по формуле Дарси-Вейсбаха, Па:

 

D р_тр = l₁ × × r × ,

 

где ₁ - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

- длина трубопровода, м;

- диаметр трубопровода, м;

r - плотность жидкости, кг/м³;

v ₁ – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Используя уравнение неразрывности течения определяем скорость на участке диаметром d₁, м/с:

 

Q = v₁ × w₁ = v₂ × w₂.

 

Отсюда

 

v₁ = = = = = 0,0017 м/с.

 

Определяем режим течения жидкости на участке трубопровода диаметром d₁ и длиной :

 

Re₁ = = = 3090,909.

 

Re > Re_кр = 2000…2320, следовательно режим движения турбулентный.

Для определения области сопротивления рассчитываем значение критерия зоны турбулентности:

 

Re × = 3090,909 × = 3,348.

 

Значение критерия зоны турбулентности меньше 10, следовательно движение происходит в области «гидравлически гладких» труб, для которой справедлива формула Блазиуса:

 

l₁ = = = 0,0424.

 

Потери давления на трение по длине равны:

 

D р_тр = 0,0424 × × 965,3 × = 0,000394 (Па).

 

Потери давления на местных сопротивлениях определяем по формуле Вейсбаха, Па:

 

D р_м = z × r × ,

 

где z – коэффициент местного сопротивления, безразмерный. При резких переходах в местных сопротивлениях коэффициент z не зависит от значения числа Рейнольдса при Re ³ 3000. Следовательно, при определении коэффициентов местного сопротивления мы можем использовать формулы для автомодельной области (3), (4), (10) – (16);

r – плотность жидкости, кг/м³;

v – средняя скорость в сечении, обычно после местного сопротивления, м/с.

Однако при определении потерь энергии при расширении трубопровода расчёт принято проводить для скорости до местного сопротивления. В данном случае до местного сопротивления (внезапного расширения) диаметр d₂ и скорость v₂. Потери давления и коэффициент местного сопротивления, отнесённый к средней скорости до местного сопротивления, определяем по формулам (2) и (3), которые в данном случае записываются в виде:

 

D р_{м в.р.} = z_в.р. × r ×

 

z_в.р. = ;

 

где w₂ - площадь трубопровода до расширения;

w₁ - площадь трубопровода после расширения.

 

z_в.р. = = = = 0,997.

 

Потери давления при внезапном расширении трубопровода равны, Па:

 

D р_{м в.р.} = 0,997 × 965,3 × = 481,202.

 

II вариант (по потерянной скорости)

 

Если принять коэффициент Кориолиса a = 1, то потери давления можно определить по формуле Борда (5, б), Па:

 

D р_в.р. = r × ,

 

где - скорость до местного сопротивления, м/с;

- скорость после местного сопротивления, м/с;

- потерянная скорость, м/с.

 

D р_в.р. = 965,3 × = 481,01 (Па).

 

Потери давления при плавном повороте трубопровода на 180⁰ определяем по формуле:

 

D р_{м 180} = z₁₈₀ × r × .

 

Коэффициент сопротивления при плавном повороте трубопровода на Q = 180⁰ определяем по формуле (15):

 

z_180. = а × z₉₀,

 

где а – справочный коэффициент, зависящий от угла поворота. При повороте на 180⁰ а = 1,33;

z₉₀ – коэффициент местного сопротивления при плавном повороте трубы на 90⁰.

Коэффициент местного сопротивления при плавном повороте трубы на 90⁰ определяем по эмпирической формуле Альтшуля (16):

 

z₉₀ = ,

 

где d₁ – диаметр нагревательной трубы, м;

R_п – радиус закругления трубы, м.

 

z₉₀ = = 104,654.

 

z_180. = 1,33 × 104,654 = 139,190.

 

D р_{м 180} = 139,190×965,3 × = 0,194 (Па).

 

Потери давления при внезапном сужении трубопровода равны:

 

D р_{м в.с.} = z_в.с. × r × .

 

Коэффициент местного сопротивления на внезапном сужении z_в.с определяем по формуле (10):

 

z_в.с. = .

 

Коэффициент сжатия струи e зависит оцениваем по эмпирической формуле (12):

 

e = 0,57 + .

 

Степень сжатия потока n равна:

 

n = = = = = 0,0017.

 

e = 0,57 + = 0,609.

 

z_в.с. = = 0,412.

 

D р_{м в.с.} = 0,412 × 965,3 × = 198,852 (Па).

 

Общие потери давления в системе равны:

 

D р_пот = 0,000394 + 481,202 + 0,194 + 198,852 = 680,2484 (Па).

 

Уравнение постоянства расхода