Всегда ли верен Закон Архимеда.

2.9.1 Есть такая задача:

 

Нить, прикрепленная к дну сосуда с водой, удерживает шарик от всплытия. Нить перерезают. Каково ускорение шарика сразу после этого?

А теперь решение этой задачи:

До перерезания нити на шарик действовали: сила натяжения нити Т и сила тяжести шарика F=mg - вниз, сила Архимеда F_а = r_жVg - вверх (здесь V- объем шарика, r_ж - плотность жидкости (воды). После исчезновения силы Т второй закон Ньютона для шарика будет иметь вид:

r_жVg - r_тVg = r_тVа, где r_т- плотность тела (шарика).

(Мы учли, что в первый момент шарик еще не успел набрать скорость и поэтому можно пренебречь силой сопротивления жидкости F~v.)

Из второго закона получаем искомое ускорение:

а =((r_ж - r_т)/ r_т) g (*)

Как вам нравится это решение? Скажем так: нет ли в формуле (*) чего-то сомнительного?...

Обратите внимание: для предельно легкого шарика (r_т»0) его ускорение становится бесконечно большим! Хорошо ли это? Ведь все силы, создающие это ускорение, гравитационного происхождения: собственно сила тяжести шарика и сила давления жидкости на шарик (ее можно вычислить как разницу сил давления снизу и сверху). Для всех сил есть единый источник их появления - это Земля: она тянет к себе и шарик, и воду, на пути которой оказался шарик. Но: ускорение, создаваемое Землей, по величине не может быть больше, чем ускорение свободного падения g! Если шарик "бесконечно легкий" и Земля его совсем не притягивает, то вода должна падать на Землю (мимо неподвижного шарика) с ускорением g. Иначе говоря, ускорение шарика относительно воды (вверх) должно быть в этом случае именно g, а не бесконечным, как получается из (*).

Интересно: выходит, что ускорение тела должно быть меньше, чем следует из (*). Но это возможно, если: либо сила тяжести шарика больше, чем мы писали, либо сила Архимеда меньше, чем у нас в решении. Согласитесь, что второе более вероятно.

------------------------------------

2.9.2 Чтобы разобраться в возникшей ситуации, поговорим не совсем про жидкость. Даже совсем не про жидкость, а про лифт. Напомним известную задачу.

а

Лифт начинает опускаться вниз с ускорением а. С какой силой в этот момент давит на пол лифта человек массы М, стоящий в лифте?

Известный ответ: F_д=M(g-a) - такой станет сила давления, она уменьшится.

Теперь вернемся обратно - к жидкости и шарику. Но ведь для шарика вода играет роль дна лифта: влекомый Землей шарик опирается на воду. Естественно, в ответ вода давит на шарик. Пока вода не имеет ускорения относительно шарика, мы можем с чистой совестью утверждать, что F_арх= r_ж Vg. Но при включении ускорения (безразлично воды или шарика) эта сила становится меньше:

F¢_арх = r_ж V(g-a) (**)

 

2.9.3. Что же получается с ускорением тела для такой (**) силы Архимеда?

Опять напишем второй закон:

F¢_арх - r_тVg = r_тVа

или r_ж V(g-a) - r_тVg = r_тVа

Отсюда

а= (r_ж - r_т)/(r_ж +r_т) g

А с учетом направления векторов

а= - g (rж - rт)/(rж +rт)

(***)

 

 

Сравните полученное выражение с формулой (*). Видно, что ускорение (***) при малых плотностях тела стремится к а = - g (r_ж -0)/(r_ж +0).=.- g! Т.е. по величине это именно ускорение свободного падения и направлено оно так, как нужно: вверх.

Можно посмотреть и другой предельный случай: очень легкая жидкость (практически ее нет). Тогда из формулы (***) получается, что шарик должен двигаться с ускорением

а = - g (0 - r_т)/(0 +r_т)=+ g.

Но именно так и должно быть: если нет воды, то шарику остается лишь свободно падать на Землю.

Кстати, и в случае равенства плотностей воды и шарика (r_ж =r_т) в (***) получается разумный результат: нулевое ускорение шарика относительно воды.

------------------------------------------

2.9.4. Теперь мы можем написать новое, исправленное выражение для силы Архимеда. Для этого нужно ускорение (***) подставить в выражение (**):

F¢_арх = r_ж V(g-(r_ж - r_т)/(r_ж +r_т)g))= 2r_жr_т/(r_ж+r_т) Vg

Итак, для шарика, стартовавшего вверх, сила Архимеда на самом деле принимает такое значение:

F¢арх = 2rжrт/(rж+rт) Vg

(****)

 

 

Нетрудно проверить, что для упомянутых предельных случаев (легкое тело, легкая жидкость и одинаковая плотность тела и жидкости) полученное выражение (****) ведет себя так, как положено.

А переход нового к старому выражению F_арх= r_ж Vg происходит при r_ж=r_т., что разумно - это как раз случай нулевого ускорения.

Подчеркнем, что выражение (****) справедливо лишь в момент старта шарика, пока можно пренебречь силой сопротивления жидкости. Но вот выражение (**) работает в любой ситуации, когда у тела есть хоть какое-то ускорение относительно жидкости.

 

2.9.5 Так не следует ли модернизировать старый закон Архимеда -

вместо F_арх = r_жVg

писать F¢_арх = 2r_жr_т/(r_ж+r_т)Vg?!

Вспомним словесную формулировку закона Архимеда:

на тело, погруженное в жидкость или газ, действует сила, равная ВЕСУ жидкости в объеме погруженной части тела.

Но что такое вес? Это сила, с которой тело давит на свою опору.

С какой силой шарик давит на жидкость в момент своего старта? С такой же, с какой жидкость давит на него: F_д=F¢_арх =r_ж V(g-a). Ну, вот и все - пользуйтесь на здоровье старой формулировкой. Потому что, как мы показали,

закон Архимеда верен не только для статического случая, но и для ускоренного движения тела в жидкости. Необходимо лишь учитывать изменение веса тела при наличии ускорения относительно жидкости.

Именно веса, а вовсе не силы притяжения тела Землей, которая практически не меняется. Но привычное выражение для силы Архимеда F_арх = r_ж Vg оказывается не универсальным. Ускорение шарика в жидкости диктует изменение этой формулы. В случае ускоренного всплытия она принимает такой вид:

F¢_арх = r_ж V(g-a).

А в случае ускоренного потопления -

F¢_арх =r_ж V(g+a).

Можно даже написать "динамическую" силу Архимеда в общем случае,

для любого направления ускорения тела в жидкости. Это будет векторное выражение:

F¢ _арх = - r_ж V(g+a)

Понятно, что при этом скорость тела не играет роли: шарик может покоиться или иметь какую-то скорость относительно жидкости. Вид силы Архимеда будет определяться лишь величиной и направлением его ускорения (как того и требует принцип относительности Галилея).

--------------------------------

Подведем ИТОГИ

 

2.10.1 Закон Архимеда:

	На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, по величине равная весу жидкости (газа), вытесненной телом.

 

Fарх = -rж/г Vпогрg

Иначе говоря:

 

 

(если тело не имеет ускорения в жидкости)

2.10.2 Закон Паскаля:

	Давление, оказываемое внешними силами, передается жидкостью или газом одинаково по всем направлениям.

 

2.10.3

О. Давлением р на некоторую площадку называется отношение модуля силы, действующей перпендикулярно площадке, к ее площади S:.

p=Fn/S

РИС

 

Если внешнее давление на жидкость (например, земной атмосферы) одинаково в любой точке жидкости, то

2.10.4

давление внутри жидкости, вызванное силой тяжести самой жидкости (гидростатическое давление ), прямо пропорционально глубине погружения:

ргидро=rgh

 

2.10.5

Связь единиц давления:

Порешаем задачи (#6/90, 40)

1. Кусок льда плавает в стакане с водой. Что будет с уровнем воды, если лед растает?

2. В цилиндрический сосуд радиуса R налита вода. На сколько изменится уровень воды, если в сосуд поместить деревянный брусок массы m?

3. С какой силой давит вода на стенку аквариума длиной А и высотой Н?

4. В воде плавает брусок в вертикальном положении. Как изменится уровень воды, если брусок будет плавать горизонтально?

5. Почему, плывя на спине, легче держаться на воде?

6. Почему доска плавает в воде своей широкой гранью?

7. В полый куб налита доверху жидкость. Как отличаются друг от друга силы давления на разные грани куба?

8. На рычаге уравновешены стальные шары. Нарушится ли равновесие, если шары погрузить в воду?

9. Металлический стержень уравновешен на опоре, которая находится посередине. Сохранится ли равновесие, если одну половину стержня согнуть пополам?

10. Что будет с уровнем воды в бассейне, если из плавающей в нем лодки взять камень и бросить в воду?

--------------------------------------

Интересно, что

эту задачу как-то предложили Гамову, Оппенгеймеру и Блоху. Все три знаменитых физика ответили неверно.

---------------------------------------

11. Что будет с уровнем воды в бассейне, если в плавающую в нем лодку зачерпнуть немного воды?

12. В воде плавает пробирка, внутри которой лежит кусочек пластилина. Пластилин вынимают и прилепляют к низу пробирки снаружи. Изменится ли при этом глубина погружения пробирки?

13. В сосуде плавает кусок льда, в который вмерз свинцовый шарик. Как изменится уровень воды, если лед растает?

14. Деревянный кубик лежит на дне сухого сосуда. Всплывет ли кубик, если в сосуд налить воду?

15. Потонет ли бутылка, заполненная водой, если ее опустить в воду?

16. Что тяжелее: тонна дерева или тонна железа?

17. Надутый воздухом шарик взвесили, потом надули сильнее и вновь взвесили. Одинаковы ли будут показания весов?

18. Почему подушка мягкая, а доска твердая?

19. Стакан с водой уравновешен на весах. Что будет, если в воду стакана опустить палец?

20. Постройте график объема всплывающего в воде пузырька от глубины его погружения.

21. По графику зависимости силы Архимеда от высоты тела над дном сосуда объясните, как двигалось тело.

22. Почему вода в проруби не поднимается до верхней кромки льда?

23. Какой длины нужна веревка, чтобы зачерпнуть воду из проруби ведром?

24. Толщина льда в центре озера 10м. Какой длины нужна веревка, чтобы котелком зачерпнуть воды из проруби?

27. Стойка с шариком, висящим на нити, укреплена на плавающем плоту. Нить удлинили и свинцовый шарик из положения в воздухе перешел в положение в воде. Как изменился уровень воды?

28. В каком случае выталкивающая сила, действующая на плавающий брусок, больше: когда он плавает в керосине или в воде?

29. Может ли тело в одной жидкости тонуть, а в другой плавать?

30. В воду опущен медный кубик и медная пластина той же массы. Будет ли одинаковой выталкивающая сила?

31. Какую форму нужно придать сосуду определенного объема, чтобы давление на его дно было наибольшим?

32. Как меняется объем пузырька воздуха, который поднимается со дна водоема?

33. В море на большой глубине затонула бутылка. Увеличится или уменьшится вместимость бутылки под давлением воды?

34. Пробковый поплавок массой m, привязанный нитью к камню, находится на глубине h под водой. Какое количество теплоты выделится после перерезания нити?

Отв. Q= mgh(ρ_в /ρ_пр -1)

35. (№12/72, 53) Длинная вертикальная труба с поршнем опущена одним концом в сосуд с водой. Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно поднимают. Как зависит сила, приложенная к поршню, от высоты его подъема?

РИС

36. В воде на некоторой глубине плавает полый шар. Вернется ли он на прежнюю глубину, если его погрузить ниже и отпустить? Учтите сжимаемость шара и воды.

Решение. Ответ зависит от сжимаемости шара. Плотность воды, хотя и очень медленно, но растет с глубиной. Если шар более сжимаем, чем вода (что мало вероятно), то при увеличении глубины погружения действующая на него архимедова сила уменьшится, и в результате шар потонет. Если же шар более сжимаем, чем вода, то он вернется на прежнюю глубину.

Вывод: полностью погруженное тело, плавающее на некоторой глубине, будет устойчиво, только в том случае, когда оно менее сжимаемо, чем окружающая его жидкость. Так объясняется устойчивое плавание дирижабля или шара-зонда на определенной высоте.

Гидростатика

4.2.7

4.2.4

4.2.22 (теплота при всплывании пузырька)

4.2.26

КОЗ 3.18 (с.70)

Кг100мех № 86, 96, 99

ГИДРОАЭРОДИНАМИКА

ПЛАН

3.1 Картина движения.

3.2 Уравнение неразрывности

3.3 Уравнение Бернулли.

3.4 Следствия из уравнения Бернулли.

3.4.1 Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли.

3.5 Движение тел в жидкостях и газах.

3.5.1 Подъемная сила.

3.5.2 Эффект Магнуса

3.5.3 Лобовое сопротивление. Силы сопротивления.

3.6 Основные результаты

3.7 Порешаем задачи

 

Это часть механики изучает движение жидкостей и газов. И движение твердых тел в этих средах.

РИС Фото

Вот течет вода. Неужели и ее - такую живую и непредсказуемую - можно вычислить, подобно материальным точкам и абсолютно твердым телам? Увы...

Конечно, это будет не совсем та, настоящая вода, которую мы с удовольствием наблюдаем или пользуемся. Но ведь и реальный шарик не является абсолютно твердым и гладким. Правда, движение жидкости - гораздо более сложное явление, чем столкновение шаров. Тем более! Здесь нам особенно потребуются упрощающие предположения, чтобы можно было хоть что-то сосчитать.

Изучая природу, мы не способны в точности понять замысел ее творца, в лучшем случае мы улавливаем общие идеи, а потому обречены на упрощения, на пользование моделями вместо реальных тел и веществ.

 

3.1 Картина движения

Итак, наш дальнейший объект изучения - идеальная несжимаемая жидкость.

Как описать движение жидкости, если вы не Айвазовский, а, скажем, Бернулли (по имени Даниил)?

Для начала можно поставить такой эксперимент:

взять прозрачную трубку, через которую течет вода, и капнуть в ее начале, в нескольких местах, по капле чернил.

РИС

Чернильные струйки покажут нам "линии тока" жидкости. Смотрите: когда жидкость только начинает течь через трубку, картина линий тока все время меняется, линии могут пересекаться, закручиваться, вообще вести себя некрасиво. Это нестационарный режим течения. Но постепенно все упорядочивается, и картина линий тока становится неизменной. Это значит, что с этого момента в каждой точке "трубочного пространства" скорость любой проходящей через нее частицы воды - одна и та же. В разных точках в трубке эта скорость может быть разной, и по величине, и по направлению. Но в данной точке пространства - она одна и та же. Такое движение жидкости называется стационарным (установившимся). При стационарном течении линии тока совпадают с траекториями отдельных частиц жидкости.

Встречается ли где-нибудь в реальности такое простое течение жидкости?

РИС

Да, такое приближение хорошо работает для медленных потоков или в длинных трубках, пока не интересуются тем, что происходит у стенок. То же самое справедливо для газа при медленном течении газа у поверхностей.

В дальнейшем, говоря о трубке, в которой течет жидкость, мы будем иметь в виду не столько реальную трубу, сколько пучок линий тока - стационарных, непересекающихся и непрерывных (иногда говорят - "трубка тока").

 

3.2 Уравнение неразрывности

Возьмем трубку с жидкостью переменного сечения. Пусть наша трубка достаточно узкая - настолько, что скорость жидкости во всех точках данного сечения можно считать одной и той же и перпендикулярной сечению:

РИС

За промежуток времени Dt через поперечное сечение площади S протечет масса жидкости

Dm=rDV=rDlS=rvDtS

Здесь r - плотность жидкости в данном сечении, DV - объем протекшей жидкости, v - скорость жидкости в данном сечении.

Но если течение стационарно, то за одно и то же время через любое (нормальное) сечение трубы должна протечь одна и та же масса воды - независимо от величины сечения. Поэтому для двух произвольных сечений S₁ и S₂ можно написать:

r₁v₁DtS₁=r₂v₂DtS₂

А если жидкость несжимаема, то r₁ =r₂ , и наше равенство принимает вид:

v₁S₁=v₂S₂

или vS=const.

Это и есть уравнение неразрывности.

Полученный результат верен для стационарно текущей несжимаемой жидкости, причем, для любых сечений, связанных одними и теми же линиями тока.

РИС

Итак,

скорость течения жидкости тем больше, чем уже поперечное сечение трубки;

она обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Многочисленные оговорки про условия, когда можно пользоваться этим уравнением, наводят на мысль, что такое бывает лишь в музее Физики, по воскресеньям, после выигрыша "Зенита" у "Манчестер Юнайтед". Эксперименты, однако, показывают, что уравнение неразрывности применимо не только к реальным жидкостям, но даже к газам, движущимся со скоростью много меньшей скорости звука в этой среде (для воздуха - примерно 330 м/с).

-------------------------------------

3.3 Уравнение Бернулли

а. Из уравнения неразрывности

v₁S₁=v₂S₂ ,

простите за каламбур, вытекает, что при меняющемся сечении трубки несжимаемая жидкость движется в ней с изменением скорости, т.е. с ускорением (положительным или отрицательным).

РИС

А если есть ускорение - должны быть внешние силы, действующие на данный объем жидкости. Их можно обеспечить через тяготение Земли - разной высотой начала и конца объема жидкости над поверхностью земли (наклонная трубка):

РИС

или непостоянством давления вдоль трубки: в местах, где скорость больше, давление должнобыть... меньше, и наоборот.

Вы сомневаетесь?

Поставим эксперимент:

 

 

Приделаем в трех разных местах горизонтальной трубы вертикальные открытые трубки. Пустим поток жидкости. И вот, что мы видим: там, где больше скорость (уже сечение), там ниже столбик воды в измерительной трубке. Похоже, что там (в этом сечении) меньше давление в текущей жидкости.

б. А теперь вернемся к теории. Рассмотрим движение идеальной жидкости. (Напомним, что это жидкость без внутреннего трения.) В такой жидкости нет перехода механической энергии во внутреннюю. Поэтому там должен быть верен закон сохранения механической энергии. Для идеальной несжимаемой жидкости этот закон будет иметь вид уравнения, которое мы сейчас получим.

Выделим участок трубки с "правильно" текущей жидкостью, - такой, чтобы от входного сечения до выходного проходили одни и те же линии тока (а не разные!). И пусть на этом участке трубка имеет наклон - такой случай ведь тоже возможен - начало трубки на высоте h₁ над землей, а конец - на высоте h₂.

РИС

S₂

S₁

Рассмотрим часть жидкости между поперечными сечениями 1 и 2. Пусть она за очень малое время переместилась в близкое положение 1¢ и 2¢ (см. РИС).

Тогда за это время из рассматриваемого участка трубки между S₁ и S₂ уйдет (вправо) кинетическая энергия Е₂=Dmv₂²/2, а придет (как обычно, слева) энергия Е₁=Dmv₁²/2.

(Здесь фигурирует одна и та же масса Dm ввиду стационарности течения.)

Таким образом, рассматриваемая часть жидкости (между 1 и 2) изменила свою кинетическую энергию на величину

DЕ_к=(Dm/2) (v₂² - v₁²)

(Обратите внимание, что кинетическая энергия жидкости из заштрихованного объема не изменилась - она просто не успела выйти за пределы рассматриваемого участка, а в его пределах все осталось по-старому, все стационарно.)

Что касается потенциальной энергии жидкости между 1 и 2, то ее изменение - это опять - потенциальная энергия той жидкости, что ушла, и унесла потенциальную энергию Dmgh₂,

минус (изменение!) потенциальная энергия, которая была принесена слева - Dmgh₁. Потенциальная энергия заштрихованного объема, естественно, не изменилась.

Общее изменение потенциальной энергии системы будет

DЕ_п=Dmg(h₂ - h₁)

(Т.к. мы считаем жидкость несжимаемой, то изменение ее упругой потенциальной энергии равно нулю.)

Теперь вычислим ту работу внешних (по отношению к выделенному нами объему) сил, которая как раз и меняет механическую энергию в 1-2.

Всякие "боковые" силы не могут внести вклада в эту работу. Работа нормально направленных сил (упругости со стороны внешних слоев жидкости) равна нулю по определению работы. А касательных сил нет - жидкость мы считаем идеальной.

Остаются "торцевые" силы. Это силы F₁ и F₂, действующие на наш объем жидкости со стороны внешней движущейся жидкости. Она толкает нашу жидкость слева, в направлении движения, с силой F₁= p₁S₁, и справа, мешая движению, с силой F₂= p₂S₂.

Их суммарная работа равна

А=А₁ + А₂= p₁S₁Dl₁ - p₂S₂Dl₂= p₁DV₁ - p₂DV₂= p₁(Dm/r) - p₂(Dm/r)= (p₁ - p₂) (Dm/r)

Мы использовали одну и ту же плотность жидкости r на входе в выделенный объем и на выходе, т.к. жидкость несжимаема и стационарна.

Теперь пришло время собирать урожай. По закону сохранения механической энергии ее изменение равно работе внешних сил:

DЕ_к + DЕ_п = А

или

(Dm/2) (v₂² - v₁²) + Dmg(h₂ - h₁) = (p₁ - p₂) (Dm/r).

Сокращая на массу

(v₂² - v₁²)/2 + g(h₂ - h₁) = (p₁ - p₂)/r

и перенося величины с одинаковыми индексами в одну сторону равенства, получим:

 

rv₂²/2 + rgh₂ + p₂ = rv₁²/2 + rgh₁ + p₁

Или

 

 

Это и есть знаменитое уравнение (закон) Бернулли:

для всех точек данной линии тока сумма указанных величин - одна и та же.

Для другой линии тока сумма будет уже другой. Но опять - одной и той же - для всех ее точек.

Фактически уравнение Бернулли - это закон сохранения энергии для стационарно текущей идеальной (без трения) несжимаемой жидкости.

---------------------------------