Теорема 9. (Лемма о вложенных отрезках)

Пусть – последовательности вложенных отрезков, то есть

an+1>an, bn+1<bn

или

тогда существует по меньшей мере одна точка, которая принадлежит всем отрезкам одновременно

Доказательство.

По условию последовательность an – не убывает, bn – не возрастает, более того обе последовательности an,, bn – ограничены, в силу того a1 an ограничены числами a1 и

Тогда существует предел этих последовательностей

(по теореме Дедекинда)

Но по условию теоремы

Таким образом, точки принадлежат всем отрезкам одновременно, в частности они могут и совпадать

 

Теорема 10. (Больцано-Вейерштрасса)

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся последовательность

Доказательство:

Пусть – ограничена

Обозначим отрезок

Разделим этот отрезок пополам и возьмем ту часть, которая содержит много членов последовательности

Обозначим разделим этот отрезок пополам, и обозначим и так до

Тогда получим последовательность вложенных отрезков, длина которых равна:

Тогда в силу предыдущей теоремы существует точка Принадлежащая всем отрезкам одновременно

Построим последовательность сходящуюся в С, в качестве возьмем любой член последовательности в качестве возьмем , в качестве возьмем любой член последовательности

Таким образом, получили подпоследовательность, которая удовлетворяет неравенству

Покажем, что Действительно, что будет выполняться условие

По теореме сравнения середина тоже стремится к О

 

последовательность расходится, не имеет предела, но ограничена и в силу теоремы можно выделить сходящуюся подпоследовательность

ограниченная последовательность

можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Обозначим через Х множество частичных пределов X

Очевидно, что так как все частичные пределы

Так как множество ограничено, то существует точная нижняя и верхняя грани

а это множества частичных пределов

 

Определение 11. Внутренние свойства

Последовательность Хn называется фундаментальной, если

(1)

То есть это последовательность, у которой члены с увеличением номера n приближаются как угодно близко

Теорема 12.

Если последовательность Хn – фундаментальная, то она ограничена

Доказательство:

Зададим выполнится (1)

Пусть

Все члены у которого

Обозначим через

Это означает, что последовательность ограничена

 

Теорема 13. Критерий Каши

1. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

Доказательство:

Пусть последовательность Хn – сходится и её предел

Докажем, что она фундаментальная, то есть выполняется (1), по определению сходящейся последовательности

тогда

значит выполняется (1) и последовательность будет фундаментальной

Достаточность

Пусть последовательность фундаментальная, докажем, что она сходится

По теореме 12, Хn – ограничена, следовательно из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность , докажем, что Хn (сходится)

Зададим произвольное

Так как , получим

По следовательность , следовательно

(*)

Чтобы выполнялось 2 неравенства одновременно, обозначим

Последовательность сходится

 

§ 2.4 Числовые ряды

Пусть { Хn }={ Х1,Х2,Х3 … Хn…}

Определение 12.

Выражение вида (формально составленной суммы)

Х1+Х2+Х3+ … +Хn+…= (2)

Называется числовым рядом

Sn= Х1+Х2+Х3+ … +Хn= - частичная сумма ряда

S1= Х1

S2= Х1+Х

S3= Х1+Х2+Х3

……..

Частичные суммы сами по себе образуют числовую последовательность, которая называется последовательностью частичных сумм

Определение 13.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм

- сумма ряда

Предел последовательности частичных сумм называется сумма ряда, записывают

Если последовательность расходится, то её предел не существует, то говорят, что и ряд расходится

Таким образом можно записать

– числовой ряд, который называется остатком исходного числового ряда

Если ряд сходится

Замечание.

По определению сходимость ряда (2) равносильна последовательности частичных сумм и наоборот

Пусть - некоторая числовая последовательность и составим ряд

Для которого частичной суммой будут члены числовой последовательности и сходимость этой числовой последовательности равна сходимости числового ряда

Пример 9

А) исследовать сходимость

не существует, этот ряд расходится

Определение 14.

Суммы, разности и произведением двух рядов и произведение ряда на число, называются следующие ряды

Теорема 14.

Если ряды и сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение на число

Доказательство:

Обозначим частичные суммы

И рассмотрим ряд

Аналогично теорема доказывается для разности и произведения

Замечание.

Отбрасывание или добавление конечного числа слагаемых членов ряда не влияет на характер сходимости или расходимости, так как при этом изменится на конечное число частичной суммы. При этом изменится только частичная сумма

 

Теорема 15. Критерии Каши

Для того, чтобы числовой ряд (2) Х1+Х2+Х3+ … +Хn+…= сходился, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

- ясно, что последовательность неравенства равносильно

Доказательство:

По определению сходимости ряда равносильно сходится последовательность , а сходящаяся последовательность равносильна фундаментальной последовательности

Значит, выполняется (3) и наоборот, если выполняется (3), то последовательность частичных сумм сходится