Дифференциальное исчисление. Производная

Определение производной. Правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

 

Примеры.

 

Найти производную функции, пользуясь определением.

, х>0

1) ,

2) ,

3)

4)

5)

6) для х>0, т.к.

х₀ – произвольно выбранная точка.

х=0 – только правостороннюю производную.

 

7) ,

8) ,

9) .

10) 11) .

12) .

существует, но функция не дифференцируется, т.е. не имеет конечной производной.

Формулы дифференцирования. техника дифференцирования

Таблица производных

где c-константа

 

Примеры.

Найти производные функций

1) 2) 3)

4) 5)

 

Решение:

 

1)

 

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

Задания для самостоятельной работы

 

Найти производные функций

 

1)   2)   3)   4)   5)   6)   7) 8)   9)   10)   11)   12)   13)   14)   15)   16)   17)   18)

19)   20)   21)   22)   23)   24)   25)   26)   27)   28)   29)   30)   31)   32)   33)   34)   35)   36)

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

Применение производной при нахождении пределов.

Правило Лопиталя

(для неопределенностей вида )

Предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел отношения производных существует.

Примеры.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

Раскрытие неопределенностей вида

Вычисление пределов функций можно осуществлять при помощи преобразования

,

- логарифмическое тождество.

В силу непрерывности показательной функции:

Пример

 

Задания для самостоятельной работы

1) 2)

 

3) 4)

 

5) 6)

 

Экстремумы функции (локальные).

Справочный материал.

Определение 1. Функция называется возрастающей на множестве если для любых и выполняется условие

 

Определение 2. Функция называется убывающей на множестве если для любых из

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,- промежутками монотонности. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её первой производной: если для всех x из то возрастает на множестве если для всех то убывает на этом множестве. Это достаточное условие монотонности функции.

 

Определение 3. Внутренние точки области определения функции в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Производная может менять знак только при переходе через критические точки и точки разрыва функции.

Теперь мы можем сформулировать ПРАВИЛО нахождения интервалов монотонности функции

1. Находим область определения функции

2. Вычисляем производную и находим критические точки функции.

3. Критическими точками и точками разрыва функции разбиваем область определения функции на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет знак, т.е. интервалы знакопостоянства

4. Исследуем знак на каждом из интервалов знакопостоянства. Если на рассматриваемом интервале то на этом интервале возрастает, если же то на этом интервале убывает.

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности функции

 

РЕШЕНИЕ:

1.

2.

Найдём критические точки

не существует при но не поэтому не является критической точкой, а является точкой разрыва функции. Итак, имеем одну критическую точку и точку разрыва функции которые разбивают область определения функции на промежутки в которых сохраняет постоянный знак.

Последующие рассуждения удобно представить в виде табл.4.1.

Таблица 4.1

x	(-¥;0)		(0;2)		(2;+¥)
y ¢	+	не существует	-		+
y	↑	точка разрыва	↓		↑

 

О т в е т. На интервалах и функция возрастает, на убывает (рис. 4.1).

Рис.4.1

Дадим определение точек локального (местного) минимума и максимума. Такие точки называют точками локального экстремума данной функции, а значения функции в этих точках- локальным максимумом (минимумом) функции или локальным экстремумом функции.

Точка из области определения функции называется точкой минимума (максимума) этой функции, если существует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство т.е.

На рис. 4.2 точки точки локального максимума функции на а точки локального минимума.

рис. 4.2

 

Обратите внимание на локальный характер изучаемых свойств функции: в точке функция принимает наибольшее значение только вблизи точки (в небольшой её окрестности), значение функции в точке минимума больше, чем в точке максимума . Холм в долине может лежать ниже ущелья в горах. Отсюда и название введённого понятия “локальный экстремум”, т.е. экстремум, связанный с определённым местом. Необходимое условие существования локального экстремума формулируется в следующей теореме.

Теорема. Если точка является точкой локального экстремума функции , определённой в некоторой окрестности точки , то производная в точке или равна нулю, или не существует.

На рис.2 в точках касательные к графику параллельны оси т.е. производные в этих точках равны 0. В точке касательная перпендикулярна оси т.е. угловой коэффициент её не существует; в точке нельзя провести касательную (есть левая и правая касательные, но они сливаются в одну). Значит, не существует.

Сформулированные выше условия являются лишь необходимыми для существования экстремума. Они позволяют только выделить точки, в которых функция может иметь экстремум. Это значит, что экстремум может быть только в критических точках, но не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Сформулируем достаточное условие существования экстремума в критической точке

рис. 4.3

 

Пусть функция непрерывна в точке и в некоторой её окрестности и имеет в этой окрестности производную за исключением, быть может, самой точки

Тогда:

а) если при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то в точке имеет локальный максимум;

б) если при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то в точке имеет локальный минимум;

в) если существует такая окрестность точки , в которой сохраняет свой знак, то в точке нет локального экстремума.

Замечание. Требование непрерывности в точке является существенным. Это подтверждается на примере функции

График этой функции дан на рис. 4.3. По графику видно, что функция в точке терпит разрыв первого рода. Точка является граничной между интервалом возрастания и интервалом убывания функции, т.е. при переходе через производная меняет свой знак с плюса на минус, а локального максимума в этой точке нет.

Пример 4.2. Исследовать на экстремум функцию

РЕШЕНИЕ: Область определения функции Критические точки: или не существует. Найдём Производная существует во всей области Теперь найдём значения , при которых производная равна 0: или Критические точки

Найдём интервалы монотонности функции (см. пример 4.1).

 

 

Составим табл. 4.2.

 

x	(-¥;2)		(2;4)		(4;+¥)
y ¢	+		-		+
y	↑	Ç max	↓	È min	↑

При переходе через точку сменила знак с + на –, значит, в этой точке функция имеет максимум: При переходе через точку производная сменила знак с – на +, значит, в этой точке функция имеет минимум: На рис.4.4 представлен эскиз графика функции

 

Ответ: max f (x) = f (2)= 20; min f (x) = f (4) = 16.

 

 

Рис.4.4

Пример 4.3. Исследовать на экстремум функцию

 

РЕШЕНИЕ.

; ;

Производная не существует, если , но не входит в Таким образом, имеем одну критическую точку

Составим табл. 4.3.

 

x	(0;2)		(2;+¥)
y ¢	-		+
y	↓	»0,6 min	↑

 

Ответ: min (рис. 4.5).

Рис.4.5

Пример 4.4. Найти экстремум и интервалы монотонности функции

 

РЕШЕНИЕ

В данном случае при не существует при Имеем две критические точки: и

 

Составим табл.4.4, которая является о т в е т о м на поставленную задачу.

 

x	(-¥;0)		(0;2)		(2;+¥)
y ¢	+	не существует	-		+
y	↑	max	↓	min	↑

 

Обратите внимание при построении графика:

а) если в точке экстремума то экстремум “круглый” (касательная параллельна оси );

б) если в точке экстремума не существует, то экстремум “острый”.

Эскиз графика функции представлен на рис.4.6.

Рис.4.6

Примеры.

1. Найти промежутки монотонности функции:

1) 2) 3)

РЕШЕНИЕ:

1) I.сп.

а)

б)

в)

г) критическая точка функции;

д) Заполним таблицу монотонности

 

x	(-¥; 0,3)	0,3	(0,3; +¥)
f ¢ (x)	-		+
f (x)	↓	È min	↑

 

Функция убывает в промежутке а возрастает в промежутке (точка включается в промежутки монотонности, так в этой точке функция определена и непрерывна).

II.сп. а)

б)

в) функция возрастает в промежутке

г) функция убывает в промежутке

 

2)

а)

б)

в) при

функция убывает в промежутках и

 

3)

а)

б)

при при

учитывая область определения, имеем: функция убывает в промежутке

в) при

с учётом области определения получаем: функция возрастает в промежутке

В точках и функция определена и непрерывна, поэтому эти точки включаются в промежутки монотонности.

2. Дана функция:

1) 2) Найти её критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции. Построить график функции

1)

а)

б)

в) критическая точка функции;

г) Заполним таблицу монотонности

 

x	(-¥; 3/4)	3/4	(3/4; +¥)
y ¢(x)	-		+
y (x)	↓	È min	↑

 

Функция возрастает в промежутке и убывает в промежутке

В точке функция определена и непрерывна, поэтому эта точка включается в промежутки монотонности.

 

2)

 

а) ;

 

б) ;

 

в) - критические точки функции;

 

г) Заполним таблицу монотонности

 

x	(-¥;0)		(0;2)		(2;+¥)
y ¢(x)	+		-		+
y (x)	↑	Ç max	↓	È min -4	↑

 

функция возрастает в промежутках и ; убывает в промежутке ;

 

В точках x =0 и x =-4 функция определена и непрерывна, поэтому эти точки включаются в промежутки монотонности;

 

д) найдём точки пересечения графика с осями координат.

 

е) построим график функции (рис. 4.7)

 

Рис.4.7

Задания для самостоятельной работы

 

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы:

А. 1) 2) 3) 4)

5) 6)

Б. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

В. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)