Эластичность функции. Эластичность экономических функций.

Эластичностью функции Е_х(у) называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению х при Δх :

Пример.

у = х ²; Е_х(у) -?

РЕШЕНИЕ: .

Эластичность функции показывает приближенно на сколько процентов изменяется функция у = f(x) при изменении независимой переменной х на 1%.

Эластичность функций при анализе спроса и предложения.

Эластичность спроса показывает приближенно на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Е_D(Q)>1 – спрос эластичный

Е_D (Q)<1 – спрос неэластичный

Е_D (Q)=1 – нейтральный спрос с единичной эластичностью.

- предельный доход

Е_D<1

Е_D>1

Е_D=1

Это означает, что с возрастанием цены для продуктов эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.

 

- эластичность предложения.

Показывает, на сколько процентов приближенно изменится предложение при изменении цены на 1%.

Задания для самостоятельной работы

 

Задание 1. Определить эластичность функций.

1) у = 2 х +1 при х = 2; 2) у = -2 х ²+4 х +1 при х = 0; 1; 2; 3;;

3) у = х ²; 4) у = х ³; 5) у = е² х; 6) у = ln x;

7) у = х ln х.

 

Задание 2. Определить предельный доход и эластичность спроса Е_D для функций, заданных зависимостями:

1) при Р = 1;

2) при Р = 1, 2, 3;

3) при р = 1;

4) и (сопоставить результат и сделать вывод);

В каких случаях спрос эластичен? Нейтрален? Неэластичен?

О чем говорит знак производной -?

Задание 3. Определить, как изменится доход от реализации продукции предприятия, если цену на нее увеличить на 10% в случаях, если эластичность спроса на продукцию составляет:

1) 0,5; 2) 1; 3) 1,5.

 

Задание 4.

1) Найти эластичность предложения, если:

1. при Р = 2 и 20;

2. при Р = е-1.

2) Заданы функции спроса

1. Q_D = 3е^-р +2 и предложения

2. Q_S = е^р.

Найти эластичности этих функций в точке равновесия и при ценах

Р = 0,5 и Р = 1.

5.3. Применение производной в задачах с экономическим содержанием.

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей.

Пример 5.1.

1. Количество производимого товара Q и численность работающих L связаны зависимостью . Определить оптимальное количество работающих.

 

РЕШЕНИЕ.

1)

 

2) ;

;

L = 20

 

3) + -

Q 20 L

Оптимальное количество работающих L = 20.

Пример 5.2.

Для некоторого товара зависимости спроса Q_D и предложения Q_S от цены Р представлены линейными функциями:

Q_D = -0,5Р+24 Q_S=

Налог на продажу единицы продукции составляет t. Определить величину налога, при котором поступления в казну будут максимальными (максимальность установить по второй производной).

 

РЕШЕНИЕ.

Для того, чтобы учесть налог на продажу, достаточно в уравнении определяющем предложение заменить цену Р на Р-t:

В точке равновесия:

,

где t – налог на единицу

Т – суммарный налог.

Это и есть та функция, точки максимума которой дают решение поставленной задачи.

1)

2)

3) - точка максимума

При t=20 поступления в казну будут максимальны.

 

 

Задания для самостоятельной работы

1) Функция дохода , издержки С=20+30Q. Найти максимальную прибыль.

 

2) Оптимизировать доход, если цена Р=-10^-2Q+20.

 

3) Найти оптимальное количество работников, если производственная функция имеет вид:

 

4) Функции спроса и предложения заданы зависимостями:

и

Оптимизировать налог с проданной продукции.

Задания к расчетно-графическим работам

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 1

Варианты заданий для расчетной работы № 1 определяются по порядковому номеру студента в списке группы.

Задание 1.

Провести полное исследование функций и построить их графики.

Варианты задания 1 для расчетной работы № 1

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.

 

Варианты дополнительных заданий для расчетной работы №1

 

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.

 

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2

1. Графически выделить интервал.

2. Методом половинного деления сделать 3 итерации.

3. Окончательный интервал найти методом хорд и касательных – сделать1 итерацию и графическую иллюстрацию хорды и касательной.

4. Найти корень и установить точность ε.

Варианты заданий для расчетной работы № 2

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.
33.	34.
35.	36.

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Практикум по высшей математике для экономистов. Учеб. Пособие для вузов. /Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. Н.Ш.Кремера. – М. ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 403 с.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Учебник: В 2-х ч. Ч.2. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 376 с.

4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.

5. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 1997.-208 с.

 

Учебное издание

 

 

Лищинская Евгения Эльявна

Коваленко Татьяна Дмитриевна

Лищинский Наум Яковлевич

 

 

МАТЕМАТИКА

Часть 1

Учебно-методическое пособие

 

 

Корректор Петрова И.Н.

 

 

Подписано в печать 05.12.2008 Бумага тип. № 1 Усл.печ.л. 2,75 Тираж 150 экз.

Формат 60х90 1/16 Отпечатано на ризографе Заказ 21

 

Международный институт рынка

443030, Самара, ул. Желябова, 21

Множительный участок МИР

443030, Самара, ул. Желябова, 21