Приближенное решение уравнений

 

Действительные корни уравнения являются абсциссами точек пересечения кривой с осью

Пользуясь этим, можно находить приближенные значения действительных корней уравнений, путем построения соответствующих кривых. Но этим графическим методом можно получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения.

Поэтому графический метод обычно применяется лишь как вспомогательное средство для определения числа действительных корней уравнения и для их отделения. Затем, после отделения корней, они могут быть вычислены с любой желаемой точностью, посредствам аналитических методов.

 

пример выполнения расчетно-графической работы

Задание. Решить графически уравнение

И уточнить его корни методом половинного деления, методом хорд и касательных

 

1. Графический метод.

 

Выделяем графический интервал:

 

Подбором

Рис. 4.12

 

2. Уточнение корней методом половинного деления. Выполним методом половинного деления, 3 итерации (метод бисекции).

За начальное приближение берут середину отрезка .

то

Если , -корень уравнения.

, то выбираем ту из половин , на концах которой имеет противоположные знаки. Это значит, что корень лежит в этом промежутке. Затем новый отрезок делим пополам точкой и выбираем ту половину, на которой лежит корень и т. д.

1) Первое приближенное значение корня:

Выбираем промежуток

 

 

2) Второе приближенное значение корня

Выбираем промежуток

 

3) Третье приближенное значение корня

Выбираем промежуток

Если требуется вычислить корень с точностью , то продолжаем процесс до тех пор, пока длина отрезка не станет

 

3.Уточнение корней уравнения методом хорд:

Хорда проведена слева.

Рис. 4.13

В2

В

В1

Хорда проведена справа.

 

b

В3

А

A

Рис. 4.14

Уравнение хорды ;

- хорда проведена слева, - хорда проведена справа.

Для точки пересечения ее с осью

- хорда проведена слева

Сравнивая знаки и , приходим к выводу, что корень . Следующие приближение к корню - - точка пересечения хорды с и т. д.

При этом гарантируема

 

- хорда проведена справа

4. Уточнение корней уравнения методом касательных (метод Ньютона):

Будем считать, что и знакопостоянны на , где находиться корень уравнения. Это значит, - монотонна и не имеет точек перегиба.

Проведем касательную к кривой в точке .

 

Касательную нужно проводить в том конце отрезка , где (знак функции совпадает со знаком второй производной).

Уравнение касательной:

Касательная справа:

Рис. 4.1 5

 

Касательная слева:

b c A3 A2 x 2 x 1 x 3 B A1 X A Рис. 4.16

5. Уточнение корней уравнения методом хорд и касательных:

. Хорда проведена слева. Касательная проведена справа.

 

 

- по методу касательных.

 

Рис. 4.17