Определение коэффициентов канонических уравнений метода перемещений.

Канонические уравнения метода перемещений при расчете на ус­тойчивость являются однородными, поэтому возможны два решения си­стемы уравнений. Первое решение, когда все неизвестные равны нулю,

этому решению соответствует первоначальная форма деформации рамы, т.е. отсутствие изгиба. Такое решение для нас' неприемлемо.

Второе решение, когда все или часть неизвестных отличны от нуля. Этому случаю соответствует потеря устойчивости первоначаль­ной формы деформации рамы. Это условие будет выражаться равенст­вом нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных.

 

Раскрывая определитель, полупим уравнение, которое в анали­тической форме вырастает условие критического состояния рамы.

Таким образом, решение уравнений не дает значения неизвестных углов

поворота и линейных смещений узлов. Эти неизвестные так и остаются неопределенными. Однако, возможно найти их соотношения. Так, например, задаваясь значением можно из остальных уравнений системы получить значения остальных неизвестных в долях от и представить форму

деформации рамы в момент потери устойчивости.

Получив уравнение критического состояния рамы и найдя его наименьший положительный корень, можно определять значение крити­ческой силы для каждого стержня рамы.

14. Метод Тимошенко определения критических нагрузок.

В основе этого метода положено равенство изменений энергии внешних и внутренних сил системы при небольшом отклонении ее от состояния равновесия

Для определения форму упругой линии рекомендуется принимать в виде многочлена

который полностью или частично должно удовлетворять граничным

условиям. Здесь - неопределенные параметры, которые подлежат определению.

Далее определяются производные и составляются выражения для .Приравнивая полученные выражения и решая это уравнение относительно Р, находим Р, как функцию неопределенных параметров

Параметры подбираем таким образом, чтобы сила P имела минимальное значение, т. е. составляем условия экстремума функции P

Условия экстремума дают нам n линейных однородных уравнений для определения параметров. Решая эти уравнения, находим значения параметров

, при которых по формуле / 3 / получаем

 

Пример:

Определить для данной стойки. Задаёмся в виде ряда

Ограничимся двумя членами ряда, тогда

при ,

при , в то время как

т.е. граничные условия выполнены частично.

Определяем изменение энергии внутренних сил

Рис.28

Определяем изменение энергия внешних сил

Приравниваем , откуда

Обозначим , тогда

 

 

Составляем условие , которое приводит к квадратному уравнению

.

Корни этого уравнения

Минимальное значение сила Р имеет при , поэтому подставляя в выражение для Р, найдём

Точное решение, как известно, дает значение , погрешность составляет 0,1%.

 

 

15. Метод Ритца определения Pкр.

В основу этого метода положено условие, что в состоянии ус­тойчивого равновесия потенциальная энергия упругой системы имеет минимальное значение. Полная потенциальная энергия упругой систе­мы определяется как сумма работ внешних я внутренних сил при пе­реходе системы из деформированного состояние в первоначальное.

Для определения потенциальной энергии форму упругой кривой реко­мендуется принимать в виде ряда

где - неопределенные параметры, -функции, удовлетворяющие полностью или частично граничным условиям.

Далее определяются значения и составляются выражения для потенциальной энергии

которая будет функцией неопределенных параметров , т.е.

Для того, чтобы функция потенциальной энергия имела экстре­мальное значение, необходимо, чтобы ее частные производные по па-

раметрам были равны нулю, т.е.

 

 

Получаем систему n линейных однородных уравнений относительно .Для нахождения ненулевого решения этой системы необходимо

приравнять нулю определитель из коэффициентов при неизвестных

Раскрывая определитель, получаем уравнение для определения крити­ческой нагрузки.

Рассмотрим предыдущий пример, задаваясь для тем же выражением

Работа внутренних сил

 

 

Работа внешних сил

Полная потенциальная энергия системы

Тогда условие экстремума дадут:

или

Приравнивая нулю определитель из коэффициентов при , получим квадратное уравнение для определения Р

 

Наименьший корень этого уравнения .

 

 

16. Метод Бубнова-Галеркина определения Pкр.

При определении критической силы этим методом не требуется со­ставлять выражение для потенциальной энергии системы. Исходным пункт при этом является дифференциальное уравнение изогнутой оси стерж­ня. Для случая, когда стержень подвергнут только действию продоль­ной сжимающей силы, дифференциальное уравнение изгиба в общем виде будет

Для решения уравнения / 9 / методом Бубнова-Галеркина форма упругой линии стержня при потере устойчивости задаётся приближенным выражением в виде ряда

где - функций, удовлетворяющие всем граничным условиям стержня и отвечающие представлению о возможных формах потери устойчивости. Коэффициенты подбираются так, чтобы решение приближенно удовлетворяло основному дифференциальному уравнению задачи.

Дифференциальное уравнение должно удовлетворяться при любых значениях переменных x в пределах длины стержня. Поэтому для любой функции , имеющей в тех же приделах конечные значения, будет тождественно удовлетворяться ра­венство

или

Приближенное решение довольствуется тем, чтобы обратить /II/ в нуль

n раз, т.е. для n выбранных функций .В качестве таких функций

принимаются функции, входящие в разложение /10/. Подставляя в уравнение /II/ выражения для y, получаем n независимых линейных уравнений для определения параметров:

 

 

 

 

Пример:

Определить для сжатого стержня постоянного сечения. Зададимся упругой линией стержня в виде кривой

, которая отвечает загружению балки сплошной равномерной попереч­ной нагрузкой

Для упрощения расчетов примем

Тогда

.

Рис.29

 

Система /12/ превращается в одно уравнение

 

Тогда

или

 

Отсюда

Точное решение дает значение .

Погрешность приближенного значения составляет ~ 4%.