Вынужденные колебания систем с двумя степенями свободы. Порядок расчета.

 

Пусть на упругую балку с двумя сосредоточенными массами действует периодическая возмущающая нагрузка гармонического типа (рис. 3). Основная задача расчета заключается в определении максимальных внутренних усилий и перемещений в балке и проверка на резонанс.

Перемещения масс и от действия инерционных сил и возмущающей нагрузки выражаются следующими зависимостями:

.

или . (1)

Наличие в уравнениях свободных членов вида дает частый интеграл того же вида, но с иной амплитудой. Будем искать этот частый интеграл в виде:

; .

Тогда ; .

Подставим полученные выражения производных и перемещений в уравнения (1) и сократим на .

или .

Преобразуем систему уравнений к такому виду:

(2)

Каждую максимальную амплитуду и можно представить как результат действия максимальных сил инерции и и амплитудного значения возмущающей нагрузки .

Максимальные силы инерции определяются при , т.е.

,

.

Подставляя в (2) вместо величины , получаем систему канонических уравнений для определения максимальных сил инерции.

.

Решая эти уравнения при известной частоте возмущений нагрузки, получаем значения максимальных инерционных сил.

В случае, когда частота возмущающей нагрузки совпадает с одной из частот собственных колебаний, наступает явление резонанса.

Зная максимальные силы инерции, можно определить все внутренние усилия в системе в состоянии наибольших отклонений.

;

;

,

где , , – внутренние усилия в системе от действия амплитудного значения возмущающей нагрузки; , , – усилия в системе от единичных сил, приложенных по направлению сил инерции.

 

 

31.Метод Релея определения частот свободных колебаний.

Во время свободных колебаний происходит переход кинетической энергии системы в потенциальную, и наоборот. Если пренебрегать сопротивлениями, то по закону сохранения энергии можно написать

, (1)

где – кинетическая энергия и – потенциальная.

В момент перехода массы через положение статического равновесия потенциальная энергия деформации равна нулю, а кинетическая достигает небольшого значения . В момент наибольшего отклонения кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия достигает максимума .

Так как минимальные значения потенциальной кинетической энергии равны нулю, то из (1) можно сделать вывод, что

(2)

Это уравнение при подстановке в него выражений энергии дает возможность определить частоты колебаний. Для приближенного решения необходимо задать динамическую упругую линию уравнением удовлетворяющим граничным условиям, например, уравнением изогнутой оси стержня при действии на него статической нагрузки, соответствующей приложенным массам. Предположим, что уравнение изогнутой оси имеет такой вид:

.

Для определения максимальной кинетической энергии необходимо найти наибольшее значение скорости

.

Кинетическая энергия будет равна

Предполагаем, что масса распределена по стержням по определенному закону. Максимальное значение кинетической энергии соответствует случаю когда

.

Величина потенциальной энергии деформации для изгибаемых систем выражается зависимостью

.

 

Тогда

Подставляем полученные значения в (2), находим

(3)

Иногда бывает удобнее числитель в (3) заменить удвоенной работой внутренних сил или удвоенной работой статических внешних сил

(4)

или

(5)

Если кроме масс на систему действуют сосредоточенные внешние нагрузки, точки приложения которых смещаются на величины , то в формулу (5) добавится слагаемое в числителе:

(6)

Как видно из формул (3) – (6), значение частоты свободных колебаний по этому методу зависит от того, насколько точно задано уравнение упругой линии. При задании истинной формой колебаний эти формулы дают точные значения низших частот. Следует заметить, что при приближенном задании формой упругой линии значения частот получаются всегда преувеличенными против точных значений.

 

32.Метод Граммеля определения частот свободных колебаний.

Этот метод, как и метод Релея, основан на равенстве максимальных значений потенциальной и кинетической энергии.

Пусть задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением

,

где – интенсивность распределенной массы.

Изгибающие моменты, вызываемые силами инерции обозначим . Тогда выражение максимальной потенциальной энергии деформаций будет иметь вид:

Обозначим – изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой ,т.е. нагрузкой в раз меньше, чем силы инерции. Тогда

и (7)

Наибольшая кинетическая энергия, которая развивается в процессе колебаний, будет равна, как и по методу Релея:

(8)

Приравнивая выражения (7) и (8), приходим к формуле Граммеля:

Для вычисления частоты по этой формуле, необходимо, прежде всего, задаться подходящей формой упругой линии . После этого путем умножения на определяется условная нагрузка и затем находятся изгибающие моменты от этой нагрузки . Теперь остается вычислить выражения, входящие в числитель и знаменатель (9). Следует отметить, что при задании одной и той же формы упругой линии, формула Граммеля оказывается точнее формулы Релея.