Наибольшее и наименьшее значения функции.

Справочный материал.

Часто приходится рассматривать задачи, связанные с нахождением наибольшего или наименьшего значения из всех тех значений, которые функция принимает на некотором отрезке. В отличие от локальных экстремумов, такие значения называются глобальными экстремумами.

Если f (x) монотонна на то наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка.

 

Пример 4.9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на

 

РЕШЕНИЕ: для значит, функция возрастающая на

Отсюда ясно, что наименьшее значение функция принимает на левом конце при x =2, наибольшее - на правом конце при x =5:

Ответ:

Если f (x) непрерывна, но не монотонна на , то наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Отсюда можно сформулировать следующее правило.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на , нужно найти все критические точки функции, лежащие внутри , вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка. Сравнив все найденные значения, выбрать из них наибольшее и наименьшее.

 

 

Пример 4.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке

 

РЕШЕНИЕ: f (x) на определена и непрерывна. Найдём критические точки, для чего определим производную Она существует во всех точках :

и

Обе критические точки принадлежат .

Вычислим значения данной функции в точках и

 

 

Пример 4.11. Найти наибольшее значение функции

на R.

 

РЕШЕНИЕ: Этот пример отличается от 10(а) тем, что функция рассматривается не на конечном промежутке, а на всей числовой оси, так как Здесь мы не можем найти значения функции на концах промежутка и сравнить их со значениями функции в критических точках. Решить задачу поможет нам нахождение интервалов возрастания и убывания функции: Критические точки:

Составим табл. 4.5.

Таблица 4.5

x	(-¥; -1)	-1	(-1; 0)		(0; 3)		(3; +¥)
y ¢	+		--		+		--
y	↑	max	↓	min	↑	max	↓

 

Из таблицы видно, что функция имеет два максимума:

Кроме того, на функция возрастает до а на функция убывает от

Отсюда делаем вывод, что наибольшего значения функция достигает в точке

Ответ:

 

 

Примеры.

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке: а) б)

РЕШЕНИЯ:Находим критические точки функции. Так как то имеются две критические точки: и

а) В промежутке лежит одна из критических точек: Так как то наименьшее значение функции достигается в точке и равно 3, а наибольшее – в точке и равно 8. Кратко это можно записать так:

б) В промежутке данная функция убывает. Поэтому

Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, так как точка не принадлежит этому промежутку.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

1) на отрезке: а) б)

2) на отрезке: а) б)

 

2. В. Представьте число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

 

3.В. Найдите такое число, чтобы его сумма со своим квадратом имела наименьшее значение.

 

4. Имеется проволока длиной метров. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли, одна сторона которого примыкает к стене заводского здания, так, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей.