Коваленко Татьяна Дмитриевна

51 (07)

М – 34

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

НОУ ВПО «МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ РЫНКА»

 

 

МАТЕМАТИКА

Часть 1

 

Учебно-методическое пособие

 

 

 

Самара

 

УДК 51 (07)

ББК 22.1

М 34

 

Математика. Часть 1. Учебно-методическое пособие. /Составители Е.Э.Лищинская, Т.Д.Коваленко, Н.Я.Лищинский. – Самара: МИР, 2008. – 72 с.

 

 

Учебно-методическое пособие «Математика. Часть 1» является составной частью УМКД «Математика» и предназначено для организации самостоятельной работы студентов. Пособие содержит справочные материалы по разделам «Элементы математического анализа», «Дифференциальное исчисление, «Предельный анализ в экономике»; задания для самостоятельного решения, примеры выполнения заданий, список литературы.

Методическое пособие предназначено для студентов 1 курса Международного института рынка, изучающих математику по направлениям «Экономика», «Менеджмент», а также по специальностям «Менеджмент организации», «Маркетинг», «Прикладная информатика в экономике», «Финансы и кредит», «Экономика и управление на предприятии».

 

 

Составители Лищинская Евгения Эльявна

старший преподаватель,

Коваленко Татьяна Дмитриевна

к.т.н., доцент,

Лищинский Наум Яковлевич

к.т.н., доцент.

 

 

Печатается по решению Научно-методического совета Международного института рынка

 

Ó Международный институт рынка, 2008

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Элементарные функции…………………………………………
2. Пределы и непрерывность………………………………………
2.1. Свойства пределов. Простейшие пределы…………………………….
2.2. Раскрытие неопределенностей различных типов…………………….
3. Дифференциальное исчисление. Производная………...
3.1. Определение производной. Правила дифференцирования…………..
3.2. Формулы дифференцирования. Техника дифференцирования……...
4. Приложение производной………………………………………
4.1. Применение производной при нахождении пределов Правило Лопиталя………………………………………………………
4.2. Экстремумы функции (локальные)……………………………………
4.3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Точки перегиба…………………………………………
4.4. Асимптоты кривой……………………………………………………...
4.5. Общая схема решения функций и построение их графиков………………………………………………………………...
4.6. Наибольшее и наименьшее значения функции……………………….
4.7. Приближенное решение уравнений…………..……………………….
5. Предельный анализ в экономике……………………………
5.1. Средние и предельные величины……………………………………...
5.2. Эластичность функции. Эластичность экономических функций…...
5.3. Применение производной в задачах с экономическим содержанием……………………………………………………………
6. Задания к расчетно-графическим работам……………..
6.1. Расчетная работа № 1…………………………………………………...
6.2. Расчетная работа № 2…………………………………………………..
7. Литература…………………………………………………………….

1. элементарные функции

Линейная функция y=kx+b

Рассмотрим частные случаи.

Если k=0, имеем у=b. Значение у не зависит от х

и при любом значении х принимает постоянное значение b. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точ­ке у = b (рис. 1.1).

Если b = 0 и k ≠ 0, имеем у = kx. Такую функцию называют прямой пропорциональной зависимостью. Ее графиком является прямая, проходящая через начало координатной плоскости — точку О (рис. 1.2). Число k называют угловым коэффициентом прямой, который определяет тангенс угла ее наклона к поло­жительной полуоси абсцисс (k = tg a). Если k > 0 угол α острый, и функция возрастает на всей области определения; при k < 0 угол α тупой, функция убывает. Для построения графика используют точку О (0; 0) и любую точку прямой М (х; kx), через которые проводят прямую линию.

 

 

Рис. 1.1 Рис. 1.2

 

Графиком функции у = kx + b (рис. 1.2) является прямая, полученная параллельным переносом прямой у = kx на | b | единиц вдоль оси ординат вверх, если b > 0, или вниз, при b < 0.

 

Для построения графика достаточно найти любые две точки прямой, через которые и проводят линию.

Рис. 1.3

Замечание. Легко построить график линейной функции, если уравнение прямой задано в виде (говорят: «уравнение в отрезках»), где числа а и b определяют точки пересечения прямой с осью абс­цисс и ординат соответственно (рис. 1.3).

 

 

Пример 1.1. Построить график функции у=2х+6.

 

РЕШЕНИЕ:График этой функции есть прямая.

Построим ее.

1-й способ. Выберем произвольно две точки прямой. Например,

если х = 0, то y= 2·0 + 6 = 6.

Координаты первой точки (0; 6). Если х = -2, то у = 2 ·(-2) + 6 = 2. Вторая точка (-2; 2). Отметим их на координатной плоскости, проведем через них прямую (рис. 1.4).

2-й способ. Преобразуем уравнение прямой к уравнению в отрезках: -2х+у=6, ,

Получили, что искомая прямая пересекает ось Ох в точке х =-3,

а ось Оу — в точке y =6. Проведем через эти точки прямую (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Рис.1.5

 

Дробно-линейная функция

Рассмотрим частный случай: , k ≠ 0 — обратная пропорциональная зависимость.

Область определения — вся числовая прямая, кроме х = 0:

D(y) = (- ; 0) (0; ).

Функция нечетная:

Графиком обратной пропорциональности является гипербола (рис. 1.6), которая состоит их двух ветвей и симметрична относительно начала координат. Если k > 0 ветви гиперболы расположены в I и III

координатных четвертях; при k < 0 — во II и IV четвертях.

 

Рис. 1.6. Рис. 1.7.

Для более точного построения гиперболы отметим на координатной плоскости несколько точек одной из ее ветвей. Вторая ветвь есть симметричное отображение первой относительно начала координат.

Функцию легко преобразовать к виду , например, делением числителя на знаменатель. График дробно-линейной функции (рис. 1.7) получается путем параллельного переноса гиперболы на единиц вдоль оси абсцисс (влево, если п > О, или вправо, если п < 0) и на единиц вдоль оси ординат (вверх, если m >0, или вниз, при m < 0).

Пример 1.2. Построить график функции

 

РЕШЕНИЕ:

Выделим целую часть.

6х-5 2х-3

6х-9 3

4

 

Рис. 1.8

 

Получили .

Построим гиперболу для этого используем принадлежащие ей точки (1; 2), (2; 1), (0,5; 4), (4; 0,5). График исходной функции получим, сдвинув гиперболу на 3 единицы вверх и на 1,5 единицы вправо (Рис.1.8).

Квадратичная функция у=ах² + bх + с, a 0

Свойства функции

1. Область определения степенной функции — множество всех

положительных чисел: х >0 (при х ≤ 0 выражение х^а имеет смысл

не для всех а R).

2. Множество значений степенной функции — множество всех

положительных чисел: у > 0.

3. Степенная функция является функцией общего вида.

4. График функции проходит через точку с координатами (1; 1).

При а >0 график функции прохо­дит через начало координат О (0; 0).

5. Если а >0, функция возрастает во всей области определения;

при а <0 — убывает. На рис. 1.12 представлены примеры графиков

степенной функции.

 

 

Рис. 1.12.

Показательная функция у = а^x, где а > 0, а 1

Свойства функции

1. Область определения показательной функции — вся числовая

прямая: х R.

2. Множество значений— вся положительная полуось: у > 0.

3. Показательная функция является функцией об­щего вида.

4. График функции проходит через точку с коорди­натами (0; 1).

5. Если а> 1,функция возрастает во всей области определения;

при 0 < а < 1 — убывает. На рис. 1.13 представлены примеры

графиков показательной функции.

Рис. 1.13.

Логарифмическая функция у = log_a x, где а > 0, а 1

Свойства функции

1. Область определения логарифмической функции – положительная

полуось: х >0.

2. Множество значений - вся числовая прямая: y R.

3. Логарифмическая функция является функцией общего вида.

4. График функции проходит через точку с коорди­натами (1; 0).

5. Если а > 1, логарифмическая функция возрастает во всей области

определения; при 0 < а < 1 — убывает.

На рис. 1.14 представлены графики логарифмической функции.

Рис. 1.14.

 

Преобразование графика функции

1. Смещение графика параллельно оси ординат

График функции у = f(x) + а получается из графика функции у = f(x) параллельным смещением его на | а | единиц по оси Оу вверх, если а >0, или вниз, при а < 0 (рис. 1.15).

Рис. 1.15

 

2. Смещение графика параллельно оси абсцисс

График функции у = f(x - а) получается из графика функции у = f(x)

его параллельным смещением вдоль оси Ох на |а | единиц вправо,

если а > 0, или влево, при а <0 (рис. 1.16).

x

y

 

x

Рис. 1.16.

 

3. Сжатие и растяжение графика функции

График функции у = kf(x), где k > 0 получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия, если 0<k < 1, или растяжения, при k > 1от оси абсцисс в k раз (рис 1.17).

График функции у = f(kx), где k > 0 получается из графика функции

у = f(x) путем его сжатия, если k > 1 к оси ординат в k раз, или растяжения, если 0 < k < 1 от оси ординат в 1/ k раз. Например, график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos x сжатием к оси ординат в 3 раза

(рис. 1.18).

 

Рис. 1.17.

 

Рис. 1.18

 

4. Симметричное отображение относительно координатных осей.

График функции у = - f(x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси абсцисс (рис 1.19).

График функции у = f(-x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси ординат (рис 1.20).

 

 

Рис. 1.19. Рис. 1.20.

 

График функции получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси Ох той части графика, которая ле­жит ниже оси абсцисс (рис 1.21).

График функции получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси О у той части графика, которая лежит справа от оси ординат О у (рис 1.22).

 

Рис. 1.21.

 

Рис. 1.22

 

Задания для самостоятельной работы

 

Постройте график функции

1. y=2;	2. х=4;
3. у = 3x;	4. у =2x+1
5. у = -Зх + 2;	6.
7.	8.
9.	10.
11. ;	12.
13.	14.
15. у = 3x^2	16.
17. y = -х^2 + 7х- 6;	18. у = х^2 + 2х + 6;
19. у = -2x^2 + 4x - 7;	20. y= 3x^2 + 6x-4;

 

21.	22.
23. y=x^4;	24. ;
25.	26.
27.	28.
29. у = log3 x;	30. y=ln x;
31.	32.
33.	34.
35. y =	36.
37. у= ;	38.
39. у = ;	40.
41. y =	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.

ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Примеры.

1.

 

2. т.к. при является б.б.в., то при является б.м.в., тогда по определению бесконечно малой величины. Или ;

 

3. т.к. при является бесконечно малой величиной, тогда -бесконечно большая величина; т.е. функция является бесконечно большой величиной, т.е. по определению бесконечно большой величины.

 

Или

 

Пример.

Найти

РЕШЕНИЕ

 

 

Ответ данной задачи будем использовать далее как заранее известный факт.

2.2.1. Раскрытие неопределенности типа .

В случае степенных функций необходимо выносить за скобку в числителе и знаменателе дроби x с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое, среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

Пример.

 

 

Задания для самостоятельной работы

1)     3)

2)     4)

2.2.2. Раскрытие неопределенности типа .

В этом случае обычно используются следующие приемы:

a) алгебраические преобразования числителя и знаменателя дроби, приводящие к формулам сокращенного умножения; неопределенность устраняется после сокращения дроби;

b) вынесение в числителе и знаменателе дроби степени х с наименьшим показателем;

c) Деление числителя дроби на ее знаменатель;

d) Эквивалентность бесконечно малых величин;

e) Первый замечательный предел.

Примеры.

a)

(дополнили числитель до разности квадратов , а знаменатель до разности кубов ).

b)

c)

 

d) Примеры эквивалентных бесконечно малых величин при :

Предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если эти бесконечно малые величины заменить им эквивалентными.

Пример.

e) - первый замечательный предел.

 

Примеры.

1)

 

2)

 

 

2.2.3. Раскрытие неопределенности типа .

В этом случае выражение, стояще под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи «второго замечательного предела».

1) ; 2)

Примеры

1)

2)

 

3)

 

 

2.2.4. Раскрытие неопределенности типа

Если функция, стоящая под знаком предела представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится к неопределенности после приведения дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к виду путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное выражение), приводящее к формулам сокращенного умножения.

Примеры.

1)

2)

Задания для самостоятельной работы

1)   4)   7) 10)   13)   16)   19)   22)	2)   5) 8) 11)   14)   17)   20)   23)	3)   6)   9)   12)   15)   18)   21)   24)
25)   28)	26)   29)	27)   30)

Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

 

Примеры.

 

Найти производную функции, пользуясь определением.

, х>0

1) ,

2) ,

3)

4)

5)

6) для х>0, т.к.

х₀ – произвольно выбранная точка.

х=0 – только правостороннюю производную.

 

7) ,

8) ,

9) .

10) 11) .

12) .

существует, но функция не дифференцируется, т.е. не имеет конечной производной.

Таблица производных

где c-константа

 

Примеры.

Найти производные функций

1) 2) 3)

4) 5)

 

Решение:

 

1)

 

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

Задания для самостоятельной работы

 

Найти производные функций

 

1)   2)   3)   4)   5)   6)   7) 8)   9)   10)   11)   12)   13)   14)   15)   16)   17)   18)

19)   20)   21)   22)   23)   24)   25)   26)   27)   28)   29)   30)   31)   32)   33)   34)   35)   36)

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

Правило Лопиталя

(для неопределенностей вида )

Предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел отношения производных существует.

Примеры.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

Раскрытие неопределенностей вида

Вычисление пределов функций можно осуществлять при помощи преобразования

,

- логарифмическое тождество.

В силу непрерывности показательной функции:

Пример

 

Задания для самостоятельной работы

1) 2)

 

3) 4)

 

5) 6)

 

Справочный материал.

Определение 1. Функция называется возрастающей на множестве если для любых и выполняется условие

 

Определение 2. Функция называется убывающей на множестве если для любых из

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,- промежутками монотонности. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её первой производной: если для всех x из то возрастает на множестве если для всех то убывает на этом множестве. Это достаточное условие монотонности функции.

 

Определение 3. Внутренние точки области определения функции в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Производная может менять знак только при переходе через критические точки и точки разрыва функции.

Теперь мы можем сформулировать ПРАВИЛО нахождения интервалов монотонности функции

1. Находим область определения функции

2. Вычисляем производную и находим критические точки функции.

3. Критическими точками и точками разрыва функции разбиваем область определения функции на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет знак, т.е. интервалы знакопостоянства

4. Исследуем знак на каждом из интервалов знакопостоянства. Если на рассматриваемом интервале то на этом интервале возрастает, если же то на этом интервале убывает.

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности функции

 

РЕШЕНИЕ:

1.

2.

Найдём критические точки