Свойства квадратичной функции

1. Область определения — вся числовая ось, то есть .

2. Если b= 0, функция у = ах² + с является четной. При b 0 - функция

общего вида, то есть не является ни четной, ни нечетной.

3. Графиком функции является парабола.

4. Функция имеет единственную критическую точку , при а > 0

х₀ является точкой минимума, а <0 — точкой максимума.

5. Точку с координатами (х₀; у₀), где называют вершиной параболы. Квадратичная парабола симметрична относительно прямой х = х₀. При построении графика доста­точно отметить точки, через которые проходит одна из ветвей параболы. Вторая ветвь получается путем симметричного отображения первой относительно прямой

Рассмотрим частные случаи.

1. Функция у = х². Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и симметричны относительно оси ординат. Вершина этой парабо­лы находится в начале координат. Строим график параболы (рис. 1.9), для точности построения используем точки (1; 1), (2; 4), (3; 9), при­надлежащие ее правой ветви. Левую ветвь получим симметричным отображением правой относительно оси ординат.

 

 

Рис. 1.9.

 

2. Функция у = ах². Вершина параболы совпадает с, началом координатной плоскости О (0; 0). Коэффициент а определяет:

1) направление ветвей параболы вверх (а >0) или вниз (а <0);

2) растяжение (при | а | <1) от оси абсцисс или сжатие (при а > 1)

к оси абсцисс в а раз (см. рис. 1.9).

 

 

 

Рис. 1.10.

 

График функции у = ах² + bх + с получается из графика функции

у = ах² путем его параллельного переноса сначала вдоль оси ОХ на единиц вправо, если абсцисса вершины параболы x₀> 0, или влево при x₀< 0; затем вдоль оси Оу на единиц вверх, если ордината вершины параболы у₀ >0, или вниз при y <0 (рис. 1.10).

Другими словами для построения графика функции у = ах² + bх + с на координатной плоскости отмечаем вершину параболы А (х ₀; у ₀).Параллельным переносом смещаем координатные оси так, чтобы начало координат совпало с точкой А. Относительно новой координатной плоскости строим график функции

у = ах².

Пример 1.3. Построить график функции

 

РЕШЕНИЕ:

Рис. 1.11

 

Найдем координаты вершины параболы a(x₀; y₀):

Параллельным переносом смещаем координатные оси так, чтобы начало координат совпало с точкой А(1;-3). Относительно новой координатной плоско­сти строим график функции у = -2х² (рис. 1.11).

 

 

Степенная функция у = х^а, где а R

Свойства функции

1. Область определения степенной функции — множество всех

положительных чисел: х >0 (при х ≤ 0 выражение х^а имеет смысл

не для всех а R).

2. Множество значений степенной функции — множество всех

положительных чисел: у > 0.

3. Степенная функция является функцией общего вида.

4. График функции проходит через точку с координатами (1; 1).

При а >0 график функции прохо­дит через начало координат О (0; 0).

5. Если а >0, функция возрастает во всей области определения;

при а <0 — убывает. На рис. 1.12 представлены примеры графиков

степенной функции.

 

 

Рис. 1.12.

Показательная функция у = а^x, где а > 0, а 1

Свойства функции

1. Область определения показательной функции — вся числовая

прямая: х R.

2. Множество значений— вся положительная полуось: у > 0.

3. Показательная функция является функцией об­щего вида.

4. График функции проходит через точку с коорди­натами (0; 1).

5. Если а> 1,функция возрастает во всей области определения;

при 0 < а < 1 — убывает. На рис. 1.13 представлены примеры

графиков показательной функции.

Рис. 1.13.

Логарифмическая функция у = log_a x, где а > 0, а 1

Свойства функции

1. Область определения логарифмической функции – положительная

полуось: х >0.

2. Множество значений - вся числовая прямая: y R.

3. Логарифмическая функция является функцией общего вида.

4. График функции проходит через точку с коорди­натами (1; 0).

5. Если а > 1, логарифмическая функция возрастает во всей области

определения; при 0 < а < 1 — убывает.

На рис. 1.14 представлены графики логарифмической функции.

Рис. 1.14.

 

Преобразование графика функции

1. Смещение графика параллельно оси ординат

График функции у = f(x) + а получается из графика функции у = f(x) параллельным смещением его на | а | единиц по оси Оу вверх, если а >0, или вниз, при а < 0 (рис. 1.15).

Рис. 1.15

 

2. Смещение графика параллельно оси абсцисс

График функции у = f(x - а) получается из графика функции у = f(x)

его параллельным смещением вдоль оси Ох на |а | единиц вправо,

если а > 0, или влево, при а <0 (рис. 1.16).

x

y

 

x

Рис. 1.16.

 

3. Сжатие и растяжение графика функции

График функции у = kf(x), где k > 0 получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия, если 0<k < 1, или растяжения, при k > 1от оси абсцисс в k раз (рис 1.17).

График функции у = f(kx), где k > 0 получается из графика функции

у = f(x) путем его сжатия, если k > 1 к оси ординат в k раз, или растяжения, если 0 < k < 1 от оси ординат в 1/ k раз. Например, график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos x сжатием к оси ординат в 3 раза

(рис. 1.18).

 

Рис. 1.17.

 

Рис. 1.18

 

4. Симметричное отображение относительно координатных осей.

График функции у = - f(x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси абсцисс (рис 1.19).

График функции у = f(-x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси ординат (рис 1.20).

 

 

Рис. 1.19. Рис. 1.20.

 

График функции получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси Ох той части графика, которая ле­жит ниже оси абсцисс (рис 1.21).

График функции получается из графика функции у = f(x) симметричным отображением относительно оси О у той части графика, которая лежит справа от оси ординат О у (рис 1.22).

 

Рис. 1.21.

 

Рис. 1.22

 

Задания для самостоятельной работы

 

Постройте график функции

1. y=2;	2. х=4;
3. у = 3x;	4. у =2x+1
5. у = -Зх + 2;	6.
7.	8.
9.	10.
11. ;	12.
13.	14.
15. у = 3x^2	16.
17. y = -х^2 + 7х- 6;	18. у = х^2 + 2х + 6;
19. у = -2x^2 + 4x - 7;	20. y= 3x^2 + 6x-4;

 

21.	22.
23. y=x^4;	24. ;
25.	26.
27.	28.
29. у = log3 x;	30. y=ln x;
31.	32.
33.	34.
35. y =	36.
37. у= ;	38.
39. у = ;	40.
41. y =	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.

ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ