Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные уравнения с переменными коэффициентамиСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида , (1) где - известные функции. Если - частное решение уравнения (1) при , то посредством замены порядок уравнения (1) при можно понизить. Функции называются линейно зависимыми на сегмента [a,b], если существуют такие постоянные , одновременно не равные нулю, что на [a,b] выполняется тождество . (2) Если тождество (2) справедливо лишь при , то указанные функции называются линейно независимыми на сегменте [a,b]. Пример 1. Решить уравнение . Решение. С помощью замены понижаем порядок данного уравнения: . Общее решение его имеет вид . Интегрируя уравнение окончательно находим . Пример 2. Исследовать на линейную независимость функции , в области, где они определены. Решение. Согласно определению линейной независимости функций должны найтись такие числа , одновременно не равные нулю, что выполняется тождество относительно x: . Отсюда (если эти тождества выполняются) следуют равенства , или . Следовательно, функции линейно независимы. Пусть - произвольная система функций, заданных на [a,b], определителем Вронского для данной системы является определитель . Если (n-1) раз дифференцируемые функции линейно зависимы на сегменте [a,b], то на [a,b]. Если линейно независимые функции являются решениями линейного однородного уравнения , (3) где непрерывные на сегменте [a,b] функции, то на [a,b]. Общее решение уравнения (3) при есть линейная комбинация линейно независимых частных решений этого уравнения. Пример 3. Могут ли графики двух решений уравнения с непрерывными коэффициентами на плоскости xOy пересекаться. Решение. Пусть - два различных решения данного уравнения. Тогда и функция также есть решение этого уравнения, причем , где абсцисса точки пересечения графиков решений . Если n=1, то, в силу единственности задачи Коши имеется только тривиальное решение . Следовательно, двух различных решений нет. Пусть n=2, тогда имеем задачу в который произвольное, поскольку не задано. Следовательно, графики двух решений задачи могут пересекаться при . Аналогичная ситуация и при . Совокупность n линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения n-го порядка называется его фундаментальной системой. Фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (3). Такое уравнение имеет вид . (4) Пример 4. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее частные решения . Решение. Очевидно, что функции линейно независимые, поэтому согласно (4), имеем . Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка , у которого известно одно частное решение , можно решить, используя формулу Остроградского - Лиувилля: , где - любые два решения данного уравнения. Пример 5. Решить уравнение . Решение. По формуле Остроградского - Лиувилля получим . Так как функция известна, то получим линейное уравнение первого порядка относительно . Разделив обе части уравнения на , получим . Так как , то , В итоге получаем общее решение уравнения . Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. Если коэффициенты уравнения являются многочленами, то его частное решение можно найти также в виде многочленов. Пример 6. Найти частное решение уравнения , являющееся алгебраическим многочленом. Решение. Сначала найдем степень многочлена. Подставляя в уравнение и выписывая только члены с самой старшей степенью x, получим: . Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени x, получим: . Отсюда . Итак, многочлен может быть только второй степени. Ищем его в виде . Подставляя в исходное уравнение получим , следовательно, Отсюда . Итак, многочлен является частным решением.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 2643; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.237.89 (0.006 с.) |