Найти решение дифференциального уравнения 2-го порядка с указанными граничными условиями методом конечных разностей, разбив данный отрезок на n равных частей.

1.

2. .

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

http://www.math.kemsu.ru/library/book-du/mater/mater_NSY.htm

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

В методических рекомендациях к выполнению практических работ приведены типовые задачи с их подробным решением по дисциплине «Линейная алгебра». Методические рекомендации знакомят читателя с примерным решением приведенных задач и их правильным оформлением. Может использоваться преподавателями при проведении практических занятий, при подготовке к контрольным работам, для подготовки заданий для оценки текущей и итоговой успеваемости студентов.

Методические указания будут полезны для организации самостоятельной работы студентов.

Предназначены для студентов всех специальностей и направлений всех форм обучения.

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение , допускающее запись в виде , а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Предполагается, что функция определена и непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только в другую – только , а затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение

Проведем следующие преобразования:

Для разделения переменных делим левую и правую части полученного уравнения на :

Интегрируем:

Заметим, что при . Нетрудно проверить, что y=1 - решение заданного уравнения. Итак, решениями данного уравнения являются функции

Существуют типы дифференциальных уравнений, которые линейной заменой переменных можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнение вида

где a,b,c - постоянные. Заметим, что при b=0 или a=0 данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Если и то, вводя новую функцию уравнение сведем к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2. Решить уравнение

Решение

Сделаем замену переменной: . Тогда исходное уравнение примет следующий вид:

.

Разделяя переменные, будем иметь:

.

Решение уравнения можно выписать и в явном виде. Для этого потенцируем полученное соотношение:

где . Раскрывая модуль, получим . Заметим, что при делении на было потеряно решение . Объединяя полученные результаты, запишем решение уравнения в виде:

.

Возвращаясь к исходным переменным, получим ответ:

.

Однородные уравнения

Функция называется однородной степени , если для всех выполняется равенство .

Уравнение называется однородным, если правая часть является однородной функцией своих аргументов нулевой степени однородности.
Однородные уравнения всегда могут быть представлены в виде

.

Предполагаем, что функция определена и непрерывна на интервале и на этом интервале функция не обращается в нуль.

Уравнение также является однородным, если однородные функции одной и той же степени однородности.

Однородные уравнения решаются посредством замены переменных:

.

Произведя такую подстановку, для новой неизвестной функции t(x) получаем уравнение

.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем данное уравнение:

.

Это уравнение является однородным и решается заменой . Тогда , , и следовательно,

Таким образом, исходное уравнение привели к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Это же уравнение можно записать в виде:

,

интегрируем левую и правую части, получаем:

Возвращаясь к старым переменным, получим

.

Заметим, что при делении на x и t мы потеряли решения . В итоге получаем ответ

.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида:

,

где является непрерывной функцией своего аргумента.

Чтобы решить данное уравнение нужно совершить перенос начала координат в точку пересечения прямых

.

Если прямые не пересекаются, то в этом случае уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Совершим перенос начала координат в точку x=1, y=2 пересечения прямых

.

Совершая замену

,

приходим к уравнению , которое является однородным и решается посредством замены .

Действительно, в результате такой замены мы имеем уравнение

,

интегрируя которое, находим

.

После возвращения к исходным переменным, получаем , следовательно, общим интегралом исходного уравнения является функция: .

При делении на могли быть потеряны решения что равносильно .

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что эти функции являются решениями. В итоге получаем ответ .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Поскольку прямые

,

не пересекаются, то сделаем замену , тогда . В результате, исходное уравнение примет вид:

,

или, что тоже самое

.

Общий интеграл данного уравнения есть

.

Перейдя к старым переменным, имеем .

Уравнение вида называется обобщенно-однородным, если существует такая постоянная , что после замены оно становится однородным. Рассмотрим пример.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение

Сделаем замену , тогда,

.

Требуем, чтобы выполнялись равенства

.

Очевидно, что . Таким образом, в результате замены

исходное уравнение примет вид

.

Далее, необходимо сделать замену , тогда получим уравнение с разделяющимися переменными вида

,

интегрируя которое находим

.

Заметим, что было потеряно решение . Переходя к старым переменным, в итоге получаем ответ

.