Найти с точностью до 0,0001 решение дифференциального уравнения 1-го порядка с указанными начальными условиями на заданном отрезке

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить со­ответствующий курс по пособиям и учебникам. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре высшей математики.

При выполнении контрольной работы надо строго придерживаться ука­занных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для заме­чаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы следует проставить дату её выполнения и расписаться.

3. В тетради должны быть решены все задачи контрольной работы строго в соответствии со своим вариантом. Контрольная работа, содержащая не все задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие зада­чи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. На­пример, условие задачи 1 должно быть переписано так: Даны вершины А(1;1), В(7;4), С(4;5) треугольника. Найти: 1) длину сторо­ны АВ и т.д.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотиви­руя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и за­чтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправ­ления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями ре­цензента. Прорецензированную контрольную работу вместе со всеми исправле­ниями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент пред­ставляет к защите.

Введение

 

В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. В первом семестре выполняются задачи 1, 2, 3. Во втором семестре выполняются задачи 4, 5, 6. Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если № зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2,7.2, 8.2.

 

1. Решите следующие уравнения с разделяющимися переменными:

1.1. ;

1.2. ;

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

2. Решите следующие однородные уравнения:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

 

3. Решите уравнение, найдя интегрирующий множитель или сделав замену:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

4. Решите уравнение второго порядка:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

5. Решите уравнение с постоянными коэффициентами:

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

 

6. Решите уравнение с постоянными коэффициентами:

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

 

7. Решите системы дифференциальных уравнений:

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

 

Найти с точностью до 0,0001 решение дифференциального уравнения 1-го порядка с указанными начальными условиями на заданном отрезке

а) методом Эйлера с итерациями (Хьюна), б) методом Рунге- Кутта.

1.

2.

3.

4. ,

5.

6.

7.

8. , y(0) = 0, [0, 0,5].

9.

10.

 

Найти решение дифференциального уравнения 2-го порядка с указанными граничными условиями методом конечных разностей, разбив данный отрезок на n равных частей.

1.

2. .

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

http://www.math.kemsu.ru/library/book-du/mater/mater_NSY.htm

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

В методических рекомендациях к выполнению практических работ приведены типовые задачи с их подробным решением по дисциплине «Линейная алгебра». Методические рекомендации знакомят читателя с примерным решением приведенных задач и их правильным оформлением. Может использоваться преподавателями при проведении практических занятий, при подготовке к контрольным работам, для подготовки заданий для оценки текущей и итоговой успеваемости студентов.

Методические указания будут полезны для организации самостоятельной работы студентов.

Предназначены для студентов всех специальностей и направлений всех форм обучения.

Однородные уравнения

Функция называется однородной степени , если для всех выполняется равенство .

Уравнение называется однородным, если правая часть является однородной функцией своих аргументов нулевой степени однородности.
Однородные уравнения всегда могут быть представлены в виде

.

Предполагаем, что функция определена и непрерывна на интервале и на этом интервале функция не обращается в нуль.

Уравнение также является однородным, если однородные функции одной и той же степени однородности.

Однородные уравнения решаются посредством замены переменных:

.

Произведя такую подстановку, для новой неизвестной функции t(x) получаем уравнение

.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем данное уравнение:

.

Это уравнение является однородным и решается заменой . Тогда , , и следовательно,

Таким образом, исходное уравнение привели к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Это же уравнение можно записать в виде:

,

интегрируем левую и правую части, получаем:

Возвращаясь к старым переменным, получим

.

Заметим, что при делении на x и t мы потеряли решения . В итоге получаем ответ

.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида:

,

где является непрерывной функцией своего аргумента.

Чтобы решить данное уравнение нужно совершить перенос начала координат в точку пересечения прямых

.

Если прямые не пересекаются, то в этом случае уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Совершим перенос начала координат в точку x=1, y=2 пересечения прямых

.

Совершая замену

,

приходим к уравнению , которое является однородным и решается посредством замены .

Действительно, в результате такой замены мы имеем уравнение

,

интегрируя которое, находим

.

После возвращения к исходным переменным, получаем , следовательно, общим интегралом исходного уравнения является функция: .

При делении на могли быть потеряны решения что равносильно .

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что эти функции являются решениями. В итоге получаем ответ .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Поскольку прямые

,

не пересекаются, то сделаем замену , тогда . В результате, исходное уравнение примет вид:

,

или, что тоже самое

.

Общий интеграл данного уравнения есть

.

Перейдя к старым переменным, имеем .

Уравнение вида называется обобщенно-однородным, если существует такая постоянная , что после замены оно становится однородным. Рассмотрим пример.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение

Сделаем замену , тогда,

.

Требуем, чтобы выполнялись равенства

.

Очевидно, что . Таким образом, в результате замены

исходное уравнение примет вид

.

Далее, необходимо сделать замену , тогда получим уравнение с разделяющимися переменными вида

,

интегрируя которое находим

.

Заметим, что было потеряно решение . Переходя к старым переменным, в итоге получаем ответ

.

Метод Бернулли.

Решение уравнения (1) ищем в виде . Подставляя данное выражение в (1) получим,

.

Выберем в качестве одно из решений уравнения

,

например , где

. (4)

Тогда находим из уравнения

,

решением которого является функция

,

где - произвольная постоянная. Перемножая , получим (3).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение эквивалентно следующему

.

Решение уравнения ищем в виде . Имеем

.

Пусть - решение уравнения , например . Функцию найдем из уравнения

.

Отсюда

,

где - произвольная постоянная. Итак, решением данного уравнения является функция

.

Теорема.

Если функции непрерывны в некоторой односвязной области , то условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом функции .

Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (1), то все решения этого уравнения имеют вид , где - произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию нужно воспользоваться равенствами

. (2)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y:

, (3)

где - произвольная дифференцируемая функция. Функция , такая что . Дифференцируя (3) по y, с учетом второго равенства из (2) получаем уравнение для определения :

.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Так как

во всех точках полуплоскости , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию такую, что

. (4)

Проинтегрировав первое равенство из (4) по x, получим:

.

Для нахождения продифференцируем по y полученное соотношение и подставим во второе равенство (4):

.

Тогда откуда, . Значит .

Решение данного уравнения запишется в виде:

.

Для интегрирования уравнений вида (1) иногда применяют метод, состоящий в выделении полных дифференциалов из разных групп слагаемых, стоящих в левой части уравнения. Для выделения полных дифференциалов используют формулы:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Заметим, что в правой части уравнения стоит функция, зависящая от частного , а в левой - выражение, похожее на дифференциал частного. Поэтому, разделив обе части данного уравнения на , получим:

.

Обозначим . Тогда полученное уравнение можно записать в виде:

.

Разделяя переменные, будем иметь:

.

Проинтегрировав, ответ запишем в виде:

.

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида (1) является уравнением в полных дифференциалах. Всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию , называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если интегрирующий множитель уравнения (1), уравнение

является уравнением в полных дифференциалах:

,

т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения

. (5)

Найти функцию из уравнения (5) в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение (5) значительно упрощается.

Случай 1. Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е. , то из (5) имеем

.

Случай 2. Если уравнение (1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е. , то

.

Случай 3. Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель вида , где - известная функция, то

.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель . Поскольку выражение

не зависит от y, то уравнение для определения примет вид

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим общее решение:

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде . Пусть , тогда уравнение для нахождения примет вид

,

интегрируя, которое находим

.

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема.

Если - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что

.

Тогда , где - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Пусть - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

.

Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции

являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции так, чтобы выполнялось равенство

,

то интегрирующим множителем для уравнения

,

очевидно, является функция

.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Для отыскания интегрирующего множителя воспользуемся методом разделения уравнения на два:

.

Нетрудно установить, что интегрирующие множители этих уравнений. а также их интегралы имеют вид:

,

Согласно указанному методу, интегрирующий множитель данного уравнения ищем из соотношения

.

Отсюда

.

Полагая здесь , получаем

,

или

.

Пусть . Тогда

.

Следовательно,

.

Заметим, что для аналогично можно найти

.

В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем ответ

.

Нелинейные системы

Система дифференциальных уравнений вида

(1)

где - неизвестные функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Существует два основных метода интегрирования систем (1).

1. Метод исключения. Состоит в сведении системы (1) к одному уравнению n -го порядка или к одному уравнению m - го () порядка и к системе m независимых уравнений. Такое сведение достигается путем дифференцирования одного из уравнений системы (1) и последующего использования всех уравнений этой же системы.

Пример 1. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений

.

Решение.

Представим данную систему в виде

,

получаем

.

Третье уравнение системы интегрируется независимо от остальных, и его общее решение имеет вид: . К первым двум применяется метод исключения, в результате чего имеем:

. (2)

Интегрируя последнее уравнение, находим . Подставив x в первое соотношение (2), получим .

Исключая из полученных соотношений параметр t, получаем два независимых первых интеграла исходной системы

.

2. Подбор интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, которое является следствием системы уравнений (1) и интегрируется в квадратурах; например, имеет вид

,

где есть решения системы (10). Функция , которая тождественно равна постоянной при подстановке в нее решений системы (1), называется первым интегралом системы (1).

Если имеется k первых независимых интегралов

(3)

(интегралы называются независимыми, если между функциями не существует связи вида ), то из системы (13) можно выразить k неизвестных функций через остальные. Подставив их в систему (11), придем к задаче об интегрировании системы уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если k=n, то все неизвестные функции определяются из системы интегралов (3). Аналитическая форма проверки независимости интегралов имеет вид

,

где - какие-нибудь k - функций из числа неизвестных.

Иногда нахождение интегрируемых комбинаций облегчается с помощью так называемой симметричной формы записи системы уравнений (1):

,

где .

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

.

Решение.

Пользуясь свойством пропорции, имеем

, (4)

, (5)

. (6)

Из соотношений (4) получаем

.

Из второго соотношения (5)

.

Соотношение (6) дает еще одну интегрируемую комбинацию:

.

В итоге после интегрирования полученных комбинаций получаем три первых интегралов исходной системы

.

Очевидно, что эти интегралы линейно независимы.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить со­ответствующий курс по пособиям и учебникам. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре высшей математики.

При выполнении контрольной работы надо строго придерживаться ука­занных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для заме­чаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы следует проставить дату её выполнения и расписаться.

3. В тетради должны быть решены все задачи контрольной работы строго в соответствии со своим вариантом. Контрольная работа, содержащая не все задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие зада­чи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. На­пример, условие задачи 1 должно быть переписано так: Даны вершины А(1;1), В(7;4), С(4;5) треугольника. Найти: 1) длину сторо­ны АВ и т.д.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотиви­руя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и за­чтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправ­ления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями ре­цензента. Прорецензированную контрольную работу вместе со всеми исправле­ниями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент пред­ставляет к защите.

Введение

 

В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. В первом семестре выполняются задачи 1, 2, 3. Во втором семестре выполняются задачи 4, 5, 6. Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если № зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2,7.2, 8.2.