Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений

 

Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная система линейных однородных уравнений называется соответствующей однородной системой (это система (30)). Решения систем (25) и (30)

(30)	удовлетворяют следующим свойствам: 1^0. Сумма решений данной неоднородной и соответствующей однородной системы линейных уравнений есть решение данной неоднородной системы. Пусть а – частное решение системы (25) и с – частное решение системы (30). Рассмотрим вектор (а + с).

Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид А× х = в (31) и А× х = 0 (32). По условию А× а = в, А× с = 0. Следовательно, А× (а + с) = А× а + А× с = в + 0 = в. Следовательно, (а + с) – решение уравнения (31), а поэтому и системы (25).

2⁰. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.

Пусть а и с – решения системы (25), а следовательно, и уравнения (31), т.е. А× а = в и А× с = в. Тогда А× (а – с) = А× а – А× с = в – в = 0, т.е. (а – с) – решение уравнения (32), а поэтому и системы (30).

3⁰. Если а – фиксированное частное решение системы (25), а с пробегает все решения системы (30), то (а + с) пробегает все решения системы (25).

Согласно 1⁰, при любом с вектор (а + с) будет решением системы (25). Если d – любое решение системы (25), то, согласно 2⁰, разность (d – а) будет решением системы (30). Обозначив (d – а) = с, получим d = (а + с).

Теорема 29. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а₁, а₂, …, а_n–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С₁ а₁ + С₂ а₂ + … + С_n–r а_n–r, где С₁, С₂, …, С_n–r – любые элементы поля Р.

(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)

Доказательство является следствием предыдущих свойств.

 

Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано n- мерноелинейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, …, е_n). Пусть М – линейное подпространство в L.

Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n- мерном пространстве L_n (если в нём зафиксирован базис) (n–r)-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном n- мерном пространстве L_n зафиксирован базис, то любое его к -мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к).

Доказательство. Пусть в L_n зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, …, е_n). Пусть L_к – линейное к -мерное подпространство в L_n. Выберем в L_к любой базис а = (а₁, а₂, …, а_к). Пусть В матричной форме а = е × А, где А = .

Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к.

 

Если d – любой вектор, то d Î L_к Û d = с₁ а₁ + с₂ а₂ + … + с_к а_к, где с₁, с₂, …, с_к независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а × с, где с – столбец параметров. Отсюда d = е× (А ×с). Если х – столбец координат вектора а в базисе е, то d = е×х. Отсюда, е×х = е× (А ×с) и х = А ×с. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк. После исключения параметров получится система (n – к) линейных однородных уравнений. Векторы а1, а2, …, ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (а₁, а₂, …, а_к) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к).

Пример. В пространстве L₅ зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, е₃, е₄, е₅). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L₃ = < а₁, а₂, а₃ >, если а₁ = (1, –2, 2, 0, 1), а₂ = (0, 4, 7, 0, 1), а₃ = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (а₁, а₂, а₃). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а₁, а₂, а₃ линейно независимы и подпространство L₃ – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

d Î L₃ Û d = с₁ а₁ + с₂ а₂ + с₃ а₃. Отсюда d Î L₃ Û х₁ = с₁ – 2с₃, х₂ = –2с₁ + 4с₂ + 3с₃, х₃ = 2с₁ + 7с₂ – с₃ , х₄ = 0, х₅ = с₁ + с₂. Если из первого второго и пятого уравнений выразить с₁, с₂ и с₃ и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

 

Линейные операторы

6.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов

Пусть L и L¹ – два линейных пространства над полем Р.

Определение 31. Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L¹ называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия j (а + в) = j (а) + j (в) и j (l а) = lj (а).

Элемент j (а) называется образом элемента а, элемент а называется прообразом элемента а.

Определение 31 эквивалентно определению 31¹:

Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L¹ называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов a, b Î Р выполняется условие j (a× а + b× в) = a×j (а) + b×j (в).

Примеры. 1. Отображение j (а) = 0¹, где а – любой вектор из L, а 0¹ – нулевой вектор из L¹, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.

2. Отображение j (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.

3. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃, …, е_n) – базис в пространстве L_n и L¹ = < е₁, е₂, е₃ >. Пусть j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃ + … + х_n е_n) = х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃. Заданное отображение j есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L¹. Этот оператор называется проекцией пространства L на L¹.

Пусть е = (е ₁, е₂, …, е_n) – базис в пространстве L и f = (f₁, f₂, …, f_n) – упорядоченная совокупность векторов из L¹.

Теорема 31. Существует и только один линейный оператор j, действующий из L в L¹, при котором j (е_к) = f_к для всех к = 1, 2, …, n.

Доказательство. Если а – любой вектор из L, то а = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n. Зададим отображение j следующим образом: j (а) = х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n. Так как j (а)Î L¹, то j действует из L в L¹. Если l Î Р, то j (l а) = l×х₁ f₁ + l х₂ f₂ + … + l х_n f_n = l (х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n) = l j (а). Если в = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n, то j (а + в) = (х₁ + у₁) f₁ + (х₂ + у₂) f₂ + … + (х_n + у_n) f_n =(х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n) + (у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n) = j (а) + j (в). Итак, j - линейный оператор из L в L¹. Кроме того j (е_к) = 1× f_к. Следовательно, j - искомый линейный оператор. Обратно, если y - любой линейный оператор, при котором y (а_к) = f_к, то по определению линейного оператора y (а) = y (х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n) = х₁y (е₁) + х₂y (е₂) + … + х_ny (е_n) = х₁ f₁ + х₂ f₂ +…+ х_n f_n = j (а). Следовательно, j - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L¹ достаточно выбрать базис (е ₁, е₂, …, е_n) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f₁, f₂, …, f_n) в пространстве L¹ и задать отображение по правилу: j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n) = х₁ f₁ + х₂ f₂ + … + х_n f_n.

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅. Пусть линейный оператор j: L ₃ ® L₅ задан по правилу j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃) = х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃. Найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. j (с) = 5 а₁ – а₂ + 3 а₃ = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).

Свойства линейных операторов.

Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор.

1⁰. j (0) = 0¹, где 0 и 0¹ – нули пространств L_n и L_m соответственно.

2⁰. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть j: L_n ® L_m и y: L _m ® L_к. Тогда (y×j): L_n ® L_к. Если а и в – любые два вектора из L_n и l - любой элемент из поля Р, то (y×j)(а + в) = y (j (а + в)) = y (j (а) + j (в)) = y (j (а)) + y (j (в)) = (y×j)(а) + (y×j)(в); (y×j)(l а) = y (j (l а)) = y (l × j (а)) = l× (y (j (а)) = l× (y×j)(а). Итак, отображение (y×j) удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, (y×j) – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов j: L_n ® L_m и y: L _n ® L_m называется такое отображение w: L_n ® L_m, что для любого элемента а Î L_n верно равенство w (а) = j (а) + y (а).

3⁰. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть а, в Î L и a, b Î Р. Тогда w (a× а + b× в) = j (a× а + b× в) + y (a× а + b× в) = (a×j (а) + b×j (в)) + + (a×y (а) + b×y (в)), Следовательно, по определению 31¹, w - линейный оператор, действующий из L_n в L_m.

4⁰. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора j: L_n ® L_m и элемента l Î Р называется такое отображение из L_n в L_m, что (lj)(а) = l× (j (а)) для любого а Î L_n.

5⁰. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.

Докажите это утверждение самостоятельно.

6⁰. 1× j = j для любого линейного оператора j.

7⁰. 0 ×j – нулевой оператор для любого линейного оператора j.

8⁰. Если j и y – два линейных оператора, a, b Î Р, j: L_n ® L_m и y: L _n ® L_m, то (a×j + b×y) – линейный оператор, действующий из L_n в L_m.

Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства L_n в L_m является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.