Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Постановка краевой задачи. Рассматриваем дифференциальное уравнение порядка n (n³ 2)

 

,

(6.35)

 

где: ; к =0,1,…,(n -1).

Если сделаем замену переменных вида

 

(6.36)

 

то задача (6.35) сводится к задаче Коши для нормальной системы ОДУ порядка n.

Типовые примеры краевых задач. Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

 

.

(6.37)

Для уравнения (6.37) краевая задача формулируется следующим образом: найти решение y=y(x), удовлетворяющее уравнению (6.37), для которой значения ее производных в заданной системе точек удовлетворяют n независимым краевым условиям, в общем виде нелинейным. Эти краевые условия связывают значения искомой функции y и ее производных до (n -1) порядка на границах заданного отрезка.

 

Рисунок 7 – Краевые условия для случая 1

 

1. Рассмотрим уравнение второго порядка . Необходимо найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным краевым условиям: y(a)= A, y(b)= B, т.е. необходимо найти интегральную кривую, проходящую через две заданные точки (рисунок 7).

 

Рисунок 8 – Краевые условия для случая 2

2. Рассмотрим уравнение с краевыми условиями , .

Из графика на рисунке 8 видно, что tg(a)=A₁ , tg(b)=B₁.

Здесь интегральная кривая пересекает прямые x=a и x=b под заданными углами a и b соответственно.

3. Смешанная краевая задача. Рассмотрим то же самое уравнение с краевыми условими y(a)=A₁ y’(b)=B ₁ . Геометрическую иллюстрацию этих краевых условий легко представить, используя рисунки 7 и 8.

Замечание. Краевая задача для уравнения (6.37) в общем случае может не иметь решений, иметь единственное решение, иметь несколько решений или бесконечное множество решений.

4. Поражение заданной цели баллистическим снарядом. Дифференциальные уравнения движения снаряда с учетом сопротивления воздуха имеют вид

 

,

Рисунок 9 – Траектория снаряда

где: - вторая производная по времени; E=E(y,v) -известная функция высоты и скорости; ; g=g(y) - ускорение силы тяжести; -угол наклона к горизонту касательной к траектории движения снаряда; .

Предполагая, что при t=t₀ снаряд выпущен из точки, совпадающей с началом координат с начальной скоростью v₀ под углом Q₀, а в момент t=t₁ поразит неподвижную мишень в точке получаем краевые условия

 

 

Здесь неизвестны Q₀ и t₁. Решив данную краевую задачу, можем найти начальный угол , где: ; Q₀ -угол, при котором поражается цель в точке M.

 

 

Решение линейной краевой задачи

 

Рассмотрим важный частный случай решения краевой задачи, когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны.

Для этого рассмотрим уравнение

 

,

(6.38)

 

где: и f(x) известные непрерывные функции на отрезке [a, b].

Предположим, что в краевые условия входят две абсциссы x=a, x=b. Это двухточечные краевые задачи. Краевые условия называются линейными, если они имеют вид

 

=g,

(6.39)

 

где: a, b, g -заданные константы. Причем они одновременно не равны нулю, т.е.

, при v =1,2,…, n.

 

Например, краевые условия во всех трех рассмотренных ранее задачах линейны, т.к. их можно записать в виде

 

,

 

причем - для первой задачи.

Решение двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка сведением к задаче Коши

 

Запишем линейное уравнение второго порядка в виде

 

,

(6.40)

 

где: p, q, f -известные непрерывные функции на некотором отрезке [a,b].

Требуется найти решение уравнения (6.40), удовлетворяющее заданным краевым условиям

 

(6.41)

 

Причем константы a и b одновременно не равны нулю

 

 

Решение задачи (6.40), (6.41) будем искать в виде линейной комбинации

 

y=C×u+V,

 

где С - константа, u -общее решение соответствующего однородного уравнения

 

,

(6.42)

 

а V -некоторое частное решение неоднородного уравнения

 

.

(6.43)

 

Потребуем,чтобы первое краевое условие было выполнено при любом C,

 

,

 

откуда следует, что , .

Тогда

 

,

(6.44)

 

где k - некоторая константа, не равная нулю. Значение функции V и ее производная в точке а

 

,

(6.45)

 

если коэффициент ¹0 и

 

,

(6.46)

 

если коэффициент ¹0.

Из этих рассуждений следует, что функция u - есть решение задачи Коши для однородного уравнения (6.42) с начальными условиями (6.44), а функция V - есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (6.43) с начальными условиями (6.45) или (6.46) в зависимости от условий. Константу C надо подобрать так, чтобы выполнялись условия (6.41) (вторая строчка) в точке x=b

 

.

 

Отсюда следует, что

 

,

 

где знаменатель не должен быть равен нулю, т. е.

 

.

(6.47)

 

Если условие (6.47) выполнено, то краевая задача (6.35), (6.36) имеет единственное решение. Если же (6.47) не выполняется, то краевая задача (6.35), (6.36) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.