Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

 

Метод простых итераций

 

Порядок выполнения лабораторной работы:

1. Найти нулевое приближение решения;

2. Преобразовать систему f(x) = 0 к виду х = Ф(х);

3. Проверить условие сходимости метода.

Схема алгоритма приведена на рисунке 20.

Пример. Решить методом простых итераций систему

 

 

В качестве нулевого приближения выберем точку х=1, у = 2.2, z = 2. Преобразуем систему к виду

 

 

Текст программы:

 

PROCEDURE Iteraz;

Var I,J,K,J1: Integer;

S,U,U1: Real;

X2,X3,Eps: Real;

R: tvector;

Begin

Eps:=0.01; X2:=0.0; K:=1;

Repeat

For J:=1 To Nn Do Begin

S:=0.0;

For I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa[i,j]*Xx[i]; End;

R[j]:=S; End;

For J1:=1 To Nn Do Begin Xx[j1]:=R[j1]; End; X3:=Xx[1];

For I:=1 To Nn Do Begin If (Xx[i]>=X3) Then X3:=Xx[i]; Еnd;

For I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; End;

X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);

If (U1>=Eps) Then X2:=X1;

K:=K+1;

Until ((K>=50)or(U1<=1e-4)) End;

 

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

X(1)= 1.1132 Х(2)= 2.3718 Х(3)= 2.1365

Количество итераций:5

 

 

Рисунок 20 - Схема алгоритма метода простых итераций

Метод Ньютона

 

Программу можно использовать для решения систем не выше десятого порядка.

Входные параметры: n — число уравнений системы (совпадает с числом неизвестных), n£10; х—массив из n действительных чисел, содержащий начальное приближение решения; f— имя внешней процедуры f(n, х, у), вычисляющей по заданным значениям х, расположенным в элементах массива х, текущие значения функции f и размещающей их в элементах массива у; g — имя внешней процедуры g(n, x, d), вычисляющей по заданным значениям х из массива х элементы матрицы ,которая размещается в массиве d размерности n x n; eps — значение условия окончания итерационного процесса.

Выходные параметры: х — массив из n действительных чисел (он же входной) содержит при выходе из подпрограммы приближенное значение решения; k—количество итераций.

Порядок выполнения лабораторной работы:

1. Определить из геометрических соображений начальное при­ближение решения.

2. Составить подпрограммы f и g для вычисления значений f и .

3. Составить головную программу, содержащую описание массива х, имен f и g, присвоение фактических значений параметрам n, х, eps, обращение к ТNUTON и печать результатов.

4. Провести вычисления на ЭВМ.

Схема алгоритма приведена на рисунке 21.

Пример.Решить систему уравнений

 

 

Текст программы:

 

procedure TNuton;

var a: T2DArray; i, j: byte; finish: boolean;

begin

IterCount:= 0;

SetLength(a, UrCount);

for i:= 0 to High(a) do SetLength(a[i], UrCount + 1);

repeat { Заполнение матрицы частных производных }

for i:= 0 to High(a) do begin

for j:= 0 to High(a[i])-1 do a[i, j]:= DerivativeFn(i, j, Results);

a[i, High(a[i])]:= -Poliz.ExternFn(i, Results);

end; { Решение полученной СЛАУ методом Гаусса }

SetLength(Gauss.Base, Length(a));

for i:= 0 to High(a) do begin

SetLength(Gauss.Base[i], Length(a[i]));

for j:= 0 to High(a[i]) do

Gauss.Base[i, j]:= a[i, j]; end; try

Gauss.Solve;

except

raise Exception.Create('Данную систему этим методом решить невозможно!');

end; { Получение очередного приближения решения СНАУ }

finish:= false;

for i:= 0 to High(Results) do begin

Results[i]:= Results[i] + Gauss.Results[i];

if not finish then finish:= (Abs(Gauss.Results[i]/Results[i]) > Eps);

end; inc(IterCount);

until not finish;

end;

 

В результате вычисления по программе получены следующие результаты:

X(1)= 1.1132 Х(2)= 2.3718 Х(3)= 2.1365

Количество итераций:4

 

Рисунок 21 - Схема алгоритма метода Ньютона

 

Варианты заданий

 

Таблица 4

			sin(y+l)-x=l,2 2y+cos x = 2.
	sin у+2х=2 cos(x-1)+y = 0,7		sin(y+0,5)-x=l cos(x-2)+y =0
	sin(y-l)+x=l,3 y-sin(x+l)=0,8		cos(y+0,5)-x = 2 sin x —2y= 1
	sin(x+l)-y=l 2x+cos y = 2		Sin x+2y= 1,6 cos(y-1)+x=l
	sin(x+0,5)-y=1,2 cos(y-2)+x = 0		Cos(x-l)+y = 0,5 x –cos y = 3
	cos x+y= 1,5 2x-sin(y-0,5)=l		Cos (x+0,5)+у = 0,8 sin y — 2x=l,6
	2y-cos(x+l)=0 x+sin y= -0,4
	cos(y-l)+x=0,5 y-cos x = 3		cos y+x=l,5 2y-sin(x-0,5)=l
	cos(y+0,5) + x=0,8 sin x-2y=l,6		2x-cos(y+l) = 0 y+sin x= -0,4
	sin(y + 2)-x=l,5 y+cos(x-2)=0,5.		cos(x-l)+y=0,8 x—cos y=2
	Cos x+y= 1,2 2x-sin(y-0,5) = 2.		cos(x+0,5)+y=l siny—2x=2
	Sin(x-1)+y= 1,5 х - sin(y+ 1)= 1		sin(у+1)-х=1 2y+cos x = 2
	Cos(y-l)+x=0,8 y-cos x=2.		cos(x-l)+y=l sin y+2x= 1,6

 

Тема лабораторной работы №4 для контроля знаний проиллюстрирована контрольно – обучающей программой.

Лабораторная работа № 5

Решение проблемы собственных значений и собственных векторов

Точные методы

Метод Леверрье

 

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы;

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел, при выходе из программы содержит решение системы.

Пример. Вычислить собственные значения и собственные вектора матрицы

 

|2 2 –2|

|2 5 –4|

|-2 –4 5|

 

Текст программы:

 

PROCEDURE Liver (Var VeS:Tvector;Nn:Integer);;

Label 35,270,220,100,80,190,500,250,350,120,10;

Var

I,J,K,T:Integer; Y,Yy:tvector; {A,Aa:Mas;} S,C,Q,P,H,D,U,M,V,F,W,Yyy,Z,L,R,X,Aaa,B:Real;

Sq,Sq1: Real; F1: TEXT;

Begin

Assign(F1,'last.out');

Rewrite(F1);

For I:=Nn Downto 1 Do Y[i+1]:=VeS[i];

Y[1]:=1;

K:=1;

35: T:=1;

C:=Y[2]/Y[1];

If (Nn=1) Then Begin

P:=-C; Q:=0; Goto 270;

End;

If (Nn=2) Then Begin

H:=C*C/4-Y[3]/Y[1];

Goto 220;

End;

M:=10;C:=4;D:=8;U:=4;

V:=8;F:=1;W:=2;T:=0;

80: If(M<>10) Then Goto 100;

P:=C;M:=0;Q:=D;C:=U;D:=V;

U:=P;V:=Q;Yyy:=C;Z:=D;F:=-F;

100:M:=M+1;H:=0;Q:=Y[1];P:=Y[2]-C*Q;L:=Q;

120:For J:=3 To Nn Do Begin

R:=P;P:=Y[j]-C*R-D*Q;Q:=R;

R:=L;L:=Q-C*R-H*D;H:=R;

End;

Q:=Y[Nn+1]-D*Q;

S:=L+C*R;

If (T=0) Then Begin

X:=D*R;H:=R*X+S*L;

If H=0 Then Goto 80;

End;

C:=C+(P*S-Q*R)/H;

D:=D+(P*X+Q*L)/H;

If ((C-Yyy+D-Z)<>0) Then Goto 190;

If (F=-W) Then Begin writeln('Љ®аҐ­м ­Ґ ­ ©¤Ґ­');

Goto 500;

End;

W:=-F;

190:H:=C*C/4-D;

Sq:=Sqrt((Q-P*C/2)*(Q-P*C/2)+P*P*Abs(H));

If (Sq>0.0000001) Then Goto 80;

T:=0;

Y[2]:=Y[2]-C*Y[1];

For J:=3 To Nn-1 Do Begin

Y[j]:=Y[j]-C*Y[j-1]-D*Y[j-2];End;

220:P:=-C/2;

Q:=Sqrt(Abs(H));

If(h>=0) Then Begin

M:=P+Q;P:=P-Q;Q:=0;

Goto 250; End;

M:=P;

250:write(F1,'p',k,'=',m:9:4,' + i',q:7:4);K:=K+1;{Ves[k-1]:=M;}WriteLn(F1,'');

270:write(F1,'p',k,'=',p:9:4,' + i',-q:7:4);K:=K+1;{Ves[k-1]:=P;}WriteLn(F1,'');

If(t<>0) Then Goto 350;

Nn:=Nn-2;

Aaa:=0;

Sq1:=Sqrt((S-R*C/2)*(S-R*C/2)+R*R*Abs(H));

If (Sq1<=0.0000001) Then Aaa:=1;

B:=0;

If (Nn>=2) Then B:=1;

If((Aaa+B)=2) Then Begin

T:=1;

Goto 120; End; Goto 35;350:500:

Close(F1);

End;

 

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

Собственные числа Собственные вектора

.10000Е+01 -.94281Е+00.23570Е+00 -.23570Е+00

.10000Е+02 -.33333Е+00 -.66667Е+00.66667Е+00

.10000Е+01.00000Е+00 -.70711Е+00 -.70711Е+00

 

Варианты заданий для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы приведены в таблице 5.

Метод Фадеева

 

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий входную матрицу.

Выходные параметры: q—массив из n действительных чисел при выходе из программы содержит решение системы.