Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

 

,

(6.10)

 

где .

Для решения задачи Коши для уравнения (1) при t >0 введем равномерную сетку с постоянным шагом t .

Введем понятие линейного m шагового разностного метода для решения задачи (6.10). Линейным m- шаговым методом называется система разностных уравнений

 

,

(6.11)

 

где: n=m,m +1...; -числовые коэффициенты не зависящие от n; k =0,1,…, m.

Систему (6.11) будем рассматривать как рекуррентные соотношения, выражающие новое значения через ранее найденные значения , причем расчет начинают с индекса n=m, т.е. с уравнения

 

.

 

Отсюда следует, что для начала расчета по формулам (6.11) надо знать m предыдущих значений функции y, причем y =u . Эти предыдущие m значений могут быть найдены одним из одношаговых методов Рунге-Кутта.

Отличие от одношаговых методов состоит в том, что по формулам (6.11) расчет ведется только в точках сетки.

 

Определение. Метод (6.11) называется явным, если коэффициент b = 0. Тогда значение легко выражается через . В противном случае метод называется неявным, и для нахождения y придется решать нелинейное уравнение вида

 

.

(6.12)

 

Обычно это уравнение решают методом Ньютона при начальном значении . Коэффициенты уравнения (6.11) определены с точностью до множителя, тогда, чтобы устранить этот произвол, вводят условие , с тем условием, что правая часть (6.11) аппроксимирует правую часть уравнения (6.10).

На практике используют частный случай методов (6.11), т.н. методы Адамса, т.е. когда производная аппроксимируется разностным отношением, включающим две соседние точки и . Тогда ; =0, k =2,..., m и

 

.

(6.13)

 

Это и есть методы Адамса. При b =0 метод будет явным, в противном случае - неявным.

 

6.2.1 Задача подбора числовых коэффициентов a_к, b_к

 

Выясним, как влияют коэффициенты a_k, b_k на погрешность аппроксимации уравнения (6.11), на устойчивость и сходимость.

 

Определение. Невязкой, или погрешностью аппроксимации методов (6.11) называется функция

 

,

(6.14)

 

где -точное решение дифференциального уравнения (6.10).

Если разложить функции в ряд Тейлора в точках равномерной сетки, окончательно получим функцию

.

(6.15)

 

Из вида функции следует, что порядок аппроксимации будет равен p, если выполнены условия

 

(6.16)

 

где l =1,..., p.

Условия (6.16) представляют собой СЛАУ относительно неизвестных , . Их количество равно 2(m +1). Решив систему (6.16), получаем неизвестные числовые коэффициенты. Для неявных методов наивысшим порядком аппроксимации p=2m, а для неявных – p=2m- 1.

Запишем систему (6.16) для методов Адамса

 

(6.17)

 

где l =2,..., p. Отсюда наивысший порядок аппроксимации для неявного метода p=m+ 1, для явного – p=m.

6.2.2 Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов

 

Наряду с системами уравнений (6.11) будем рассматривать т.н.
однородные разностные уравнения вида

 

,

(6.18)

 

где n=m,m +1,....

Будем искать его решение в виде функции

 

,

 

где q -число подлежащее определению. Подставив в (6.18) получаем уравнение для нахождения q

 

.

(6.19)

 

Уравнение (6.19) принято называть характеристическим уравнением для разностных методов (6.11). Говорят, что разностный метод (6.11) удовлетворяет условию корней, если все корни уравнения (6.19) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе нет кратных корней.

Разностный метод (6.11), удовлетворяющий условию корней, называется устойчивым методом.

Теорема. Пусть разностный метод (6.11) удовлетворяет условию корней и выполнено условие при . Тогда при , n³m и достаточно малых t будет выполнена оценка

,

(6.20)

где: -погрешность аппроксимации; -погрешность в задании начальных условий; M=const.

Методы Адамса удовлетворяют условию корней, т.к. a₀=-a₁= 1, следовательно, q=q₁= 1.

 

6.2.3 Примеры m -шаговых разностных методов Адамса для различных m

 

Явные методы. При m= 1 порядок точности p= 1. Тогда метод описывается формулой

 

.

 

В этом случае получаем метод Эйлера. При m= 2 порядок точности p= 2. Тогда метод описывается формулой

 

.

При m= 3 порядок точности p= 3. Тогда метод описывается формулой

 

.

При m= 4 порядок точности p= 4. Метод описывается формулой

 

.

 

Неявные формулы Адамса.

 

m= 1, p= 2, -метод трапеций;

m= 2, p= 3, ;

m= 3, p= 4, .

 

Неявные методы содержат искомое значение нелинейным образом, поэтому для его нахождения применяют итерационные методы решения нелинейных уравнений.