Жесткие задачи для систем ОДУ

 

Метод Гира

 

Входные параметры: n – порядок системы; y0 – массив из n чисел, содержащий решение в начальной точке; eps – интегрирования; masq – массив размерности n´n, содержащий матрицу системы.

Выходные параметры: res – массив из n чисел, содержащий решение системы.

Схема алгоритма показана на рисунке 36.

Пример. Решить задачу Коши для системы

 

 

при начальных условиях у₁(0)=1, у₂(0)=0.

 

Текст программы:

 

procedure gira(a,b:real;n,kolfun:integer;x:real;var y_1:TFunZnach);

var fun:array[1..NumFun,1..4] of real;

h:real;

begin

h:=(b-a)/n;

for i:=1 to 4 do

begin runge_ku(a,b,1,1,x,y_1); x:=x+h;

for k:=1 to kolfun do fun[k,i]:=y_1[k];

end;

for i:=5 to n do

begin

for k:=1 to kolfun do begin

y_1[k]:=fun[k,4]; runge_ku(a,b,1,1,x,y_1);

y_1[k]:=1/25*(48*fun[k,4]-36*fun[k,3]+16*fun[k,2]-3*fun[k,1]+12*h*f(y_1[k],x));

fun[k,1]:=fun[k,2]; fun[k,2]:=fun[k,3]; fun[k,3]:=fun[k,4]; fun[k,4]:=y_1[k];

end;

x:=x+h;

end;

end;

 

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

Х	У(1)	у(2)
.10000Е+00	.48703Е+00	.34270Е+00
.20000Е+00	.35432Е+00	.32700Е+00
.30000Е+00	.28565Е+00	.27417Е+00
.40000Е+00	.23483Е+00	.22550Е+00
.50000Е+00	.19396Е+00	.18492Е+00
.60000Е+00	.16060Е+00	.15159Е+00
.70000Е+00	.13330Е+00	.12430Е+00
.80000Е+00	.11095Е+00	.10195Е+00
.90000Е+00	.83650Е-01	.82750Е-01
.10000Е+01	.68668Е-01	.67768Е-01
.11000Е+01	.56402Е-01	.55502Е-01
.12000Е+01	.46359Е-01	.45459Е-01
.13000Е+01	.38137Е-01	.37237Е-01
.14000Е+01	.31405Е-01	.30505Е-01
.15000Е+01	.25894Е-01	.24994Е-01
.16000Е+01	.21381Е-01	.20481Е-01
.17000Е+01	.17687Е-01	.16787Е-01
.18000Е+01	.14662Е-01	.13762Е-01
.19000Е+01	.12185Е-01	.11285Е-01
.20000Е+01	.92579Е-02	.91678Е-02

.

Рисунок 36 - Схема алгоритма метода Гира

 

Варианты заданий для решения Жестких задач для систем ОДУ приведены в таблице 8.

Метод Ракитского (матричной экспоненты).

 

Входные параметры: n – порядок системы; x – начальное значение x;

h – шаг интегрирования h; Q – массив из n чисел, содержащий решение в начальной точке; F – массив размерности n´n, содержащий матрицу системы.

Выходные параметры: X – массив из n чисел, содержащий решение системы.

Схема алгоритма показана на рисунке 37.

Пример. Решить задачу Коши для системы

 

 

при начальных условиях у₁(0)=1, у₂(0)=0.

 

Текст программы:

 

Procedure MetRak(N:Word;Var H:Real;A:MasReal;Var F,Q:MasReal;Nts,Ind:Integer);

Var

RabMas1: MasReal;

RabMas2: MasReal;

S,Fak: Real;

i,j,k: Byte;

BEGIN

IF Ind=0 Then

Begin

S:=0;

For i:= 1 To N Do

For j:= 1 To N Do S:=S+A[i,j]*A[i,j];

S:=Sqrt(S); H:=0.1/S; Nts:= 0; RabMas1:= A;

For I:= 1 To N Do

Begin

For J:= 1 To N Do Begin

Q[i][j]:= A[i][j]*H/2; F[i][j]:= A[i][j]*H

End;

Q[i][i]:= Q[i][i] + 1; F[i][i]:= F[i][i] + 1

End;

Fak:= 1;

For K:= 2 To 4 Do

Begin Fak:= Fak*k; MulMat(N, RabMas1, A, RabMas2);

For I:= 1 To N Do

For J:= 1 To N Do

Begin

F[i][j]:= F[i][j] + RabMas2[i][j]*Step(H, k)/Fak;

IF k < 4 Then Q[i][j]:= Q[i][j] + RabMas2[i][j]*Step(H, k)/(Fak*(k+1));

End;

RabMas1:= RabMas2

End;

MulConst(N, h, Q)

End;

 

IF Nts > 0 Then

Begin

H:= H*Step(2,Nts); MulMat(N, F, F, RabMas1);

RabMas2:= F; F:= RabMas1;

For I:= 1 To N Do RabMas2[i][i]:= RabMas2[i][i] + 1;

MulMat(N, Q, RabMas2, RabMas1);

Q:= RabMas1

End;

End;

 

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

 

х	у(1)	у(2)
.10000Е+00	.47703Е+00	.34170Е+00
.20000Е+00	.34432Е+00	.32600Е+00
.30000Е+00	.27565Е+00	.27317Е+00
.40000Е+00	.22483Е+00	.22450Е+00
.50000Е+00	.18396Е+00	.18392Е+00
.60000Е+00	.15060Е+00	.15059Е+00
.70000Е+00	.12330Е+00	.12330Е+00
.80000Е+00	.10095Е+00	.10095Е+00
.90000Е+00	.82650Е-01	.82650Е-01
.10000Е+01	.67668Е-01	.67668Е-01
.11000Е+01	.55402Е-01	.55402Е-01
.12000Е+01	.45359Е-01	.45359Е-01
.13000Е+01	.37137Е-01	.37137Е-01
.14000Е+01	.30405Е-01	.30405Е-01
.15000Е+01	.24894Е-01	.24894Е-01
.16000Е+01	.20381Е-01	.20381Е-01
.17000Е+01	.16687Е-01	.16687Е-01
.18000Е+01	.13662Е-01	.13662Е-01
.19000Е+01	.11185Е-01	.11185Е-01
.20000Е+01	.91579Е-02	.91578Е-02

 

 

 

 

Рисунок 37 - Схема алгоритма метода Ракитского

 

Варианты заданий

 

Таблица 8

№ вари- анта	Матрица системы	Вектор начальных условий
	-.18000Е + 01 -.51350Е + 02 .12175Е + 02 .51650Е + 02	.23200Е+02 -.41500Е+02 -.25000Е+00 .16800Е+02	.97000Е + 01 -.40000Е + 02 .50000Е + 01 .30300Е + 02	.83500Е + 01 -.31350Е + 02 .21750Е + 01 .21500Е + 02	.8415Е+00 .5403Е+00 -.4161Е+00 .9093Е+00
	.22600Е + 02 -.26800Е + 02 -.46000Е + 01.22000Е + 01	.47600Е+02 -.22000Е+02 -.17000Е+02 -.27600Е+02	.29600Е + 02 -.20000Е + 02 -.10000Е + 02 -.96000Е + 01	.27800Е + 02 -.16800Е + 02 -.96000Е + 01 -.1ЗОООЕ+02	.9093Е+00 -.4161Е+00 -.6536Е+00 -.7568Е+00
	.37000Е + 02 -.18917Е + 02 -.13042E + 02 -.20583Е + 02	.65333Е+02 -.15833Е+02 -.27083E+02 -.52000Е+02	.42833Е + 02 -.1ЗЗЗЗЕ + 02 -.18333E + 02 -.29500Е + 02	.40583Е + 02 -.12250Е + 02 -.16375E + 02 -.30833Е + 02	.1411Е+00 -.9900Е+00 .9602E+00 -.2794Е+00
	.48900Е + 02 -.15200Е + 02 -.19400Е + 02 -.36700Е + 02	.81400Е+02 -.13000Е+02 -.35500Е+02 -.71400Е+02	.54400Е + 02 -.10000Е + 02 -.25000Е + 02 -.44400Е + 02	.51700Е + 02 -.10200Е + 02 -.21900Е + 02 -.44500Е + 02	-.7568Е+00 -.6536Е+00 -.1455Е+00 .9894Е+00
	.59800Е + 02 .13150Е + 02 -.24925Е + 02 -.50150Е + 02	.96800Е+02 -.11500Е+02 -.43250Е+02 -.88800Е+02	.65300Е + 02 -.80000Е + 01 -.З1000Е + 02 -.57300Е + 02	.62150Е + 02 -.91500Е + 01 -.26925Е + 02 -.56500Е + 02	-.9589Е+00 .2837Е+00 -.8391Е+00 -.5440Е+00
	.70200Е + 02 -.11933Е + 02 -.30033Е + 02 -.62267Е + 02	.11187Е+03 -.10667Е+02 -.50667Е+02 -.10520Е+03	.75867Е + 02 -.66667Е + 01 -.36667Е + 02 -.69200Е + 02	.72267Е + 02 -.86000Е + 01 -.31700Е + 02 -.67667Е + 02	.9602Е+00 .9602Е+00 .8439Е+00 -.5366Е+00
^7	.80314Е + 02 .11193Е + 02 -.34904Е + 02 -.73621Е + 02	.12674Е+02 -.10214Е+02 -.57893Е+02 -.12103Е+03	.86243Е + 02 -.57143Е + 01 .42143Е + 02 -.80529Е + 02	.82193Е + 02 -.83357Е + 01 -.36332Е + 02 -.78357Е + 02	.6570Е+00 .7539Е+00 .1367Е+00 .9906Е+00
^8	.90250Е + 02 -.10750Е + 02 -.39625Е + 02 -.84500Е + 02	.14150Е+03 -.1000Е+02 -.65000Е+02 -.13650Е+03	.96500Е + 02 -.50000Е + 01 -.47500Е + 02 -.91500Е + 02	.92000Е + 02 -.82500Е + 01 -.40875Е + 02 -.88750Е + 02	.9894Е+00 -.1455Е+00 -.9577Е+00 -.2879Е+00
	.10007Е + 03 -.10506Е + 02 -.44247Е + 02 -.95061Е + 02	.15618Е+03 -.99444Е+01 -.72028Е+02 -.15173Е+03	.10668Е + 03 -.44444Е + 01 -.52778Е+02 -.10223Е + 03	.10173Е + 03 -.82833Е + 01 -.45358Е + 02 -.98944Е + 02	.4121Е+00 -.9111Е+00 .6603Е+00 -.7510Е+00
Продолжение таблицы 8
	.10980Е + 03 -.10400Е + 02 -.48800Е + 02 -.10540Е + 03	.17080Е+03 -.1000Е+02 -.79000Е+02 -.16680Е+03	.11680Е + 03 -.40000Е + 01 -.58000Е + 02 -.11280Е + 03	.11140Е + 03 -.84000Е + 01 -.49800Е + 02 -.10900Е + 03	-.5440Е+00 -.8391Е+00 .4081Е+00 .9129Е+00
	.11947Е + 03 -.10395Е + 02 -.53302Е + 02 -.11558Е + 03	.18538Е+03 -.10136Е+02 -.85932Е+02 -.18175Е+03	.12688Е + 03 -.36364Е + 01 -.63182Е + 02 -.12325Е + 03	.12103Е + 03 -.85773Е + 01 -.54211Е + 02 -.11895Е + 03	-.1000Е+01 .4426Е-02 -.1000Е+01 -.8851Е-02
	.12910Е + 03 -.10467Е + 02 -.57767Е + 02 -.12563Е + 03	.19993Е+03 -.10333Е+02 -.92833Е+02 -.19660Е+03	.13693Е + 03 -.33333Е + 01 -.68333Е + 02 -.13360Е + 03	.13063Е + 03 -.88000Е + 01 -.58600Е + 02 -.12883Е + 03	-.5366Е+00 .8439Е+00 .4242Е+00 -.9056Е+00
	.13869Е + 03 -.10596Е + 02 -.62202Е + 02 -.13560Е + 03	.21446Е+03 -.10577Е+02 -.99712Е+02 -.21138Е+03	.14696Е + 03 -.30769Е + 01 -.73462Е + 02 -.14388Е + 03	.14021Е + 03 -.90577Е + 01 -.62971 Е + 02 -.13865Е + 03	.4202Е+00 .9074Е+00 .6469Е+00 .7626Е+00
	.14826Е + 03 .10983Е + 02	.22897Е+03 -.10857Е+02	.15697Е + 03 -.28571Е + 01	.14977Е+03 -.93429Е + 01	.9906Е+00 .1367Е+00
	-.66614Е + 02 -.14549Е + 03	-.10657Е+03 -.22611Е+03	-.78571Е + 02 -.15411Е + 03	-.67329Е + 02 -.14843Е + 03	-.9626Е+00 .2709E+00
	.15780Е + 03 -.10983Е + 02	.24347Е+03 -.11167Е+02	.16697Е + 03 -.26667Е + 01	.15932Е + 03 -.96500Е + 01	.6503Е+00 -.7597Е+00
	-.71008Е + 02 -.15532Е + 03	-.11342Е+03 -.24080Е+03	-.83667Е + 02 -.16430Е + 03	-.71675Е + 02 -.15817Е + 03	.1543Е+00 -.9880Е+00
	.16732Е + 03 -.11225Е + 02	.25795Е+03 -.11500Е+02	.17695Е + 03 -.25000Е + 01	.16885Е + 03 -.99750Е + 01	-.2879Е+00 -.9577Е+00
	-.75387Е + 02 -.16510Е + 03	-.12025Е+03 -.25545Е+03	-.8875Е + 02 -.17445Е + 03	-.76013Е + 02 -.16788Е + 03	.8342Е+00 .5514Е+00
	.17684Е + 03 -.11491Е + 02 -.79754Е + 02 -.17484Е + 03	.27242Е+03 -.11853Е+02 -.12707Е+03 -.27007Е+03	.18692Е + 03 -.23529Е + 01 -.93824Е + 02 -.18457Е + 03	.17837Е + 03 -.10315Е + 02 -.80343Е + 02 -.17756Е + 03	-.9614Е+00 -.2752Е+00 -.8486Е+00 .5291Е+00
	.18633Е + 03 -.11778Е + 02 -.84111Е + 02 -.18456Е + 03	.28689Е+03 -.12222Е+02 -.13389Е+03 -.28467Е+03	.19689Е + 03 -.22222Е + 01 -.98889Е + 02 -.19467Е + 03	.18789Е + 03 -.10667Е + 02 - 84667Е + 02 -.18722Е + 03	-.7510Е+00 .6603Е+00 -.1280Е+00 -.9918Е+00
	.19582Е + 03 -.12082Е + 02	.30135Е+03 -.12605Е+02	.20685Е + 03 -.21053Е + 02	.19740Е + 03 -.11029Е + 02	.1499Е+00 .9887Е+00
	-.88459Е + 02 -.19424Е + 03	-.14070Е+03 -.29924Е+03	-.10395Е + 03 -.20474Е + 03	-.88986Е + 02 -.19687Е + 03	.9551Е+00 .2964Е+00
	.20530Е + 03 -.12400Е + 02	.31580Е+03 -.13000Е+02	.21680Е + 03 -.20000Е + 01	.20690E + 03 -.11400Е + 02	.9129Е+00 .4081Е+00
Продолжение таблицы 8
	-.92800Е + 02 -.20390Е + 03	-.14750Е+03 -.31380Е+03	-.10900Е + 03 -.21480Е + 03	-.93300Е + 02 -.20650Е + 03	-.6669Е+00 .7451Е+00
	.21477Е + 03 -.12731Е + 02 -.97135Е + 02 -.21354Е + 03	.33025Е+03 -.13405Е+02 -.15430Е+03 -.32834Е+03	.22675Е + 03 -.19048Е + 01 -.11405Е + 03 -.22484Е + 03	.21640Е + 03 -.11779Е + 02 -.97611Е + 02 -.21612Е + 03	.8367Е+00 -.5477Е+00 -.4000Е+00 -.9165Е+00
	.22424Е + 03 -.13073Е + 02 -.10146Е + 03 -.22316Е + 03	.34469Е+03 -.13818Е+02 -.16109Е+03 -.34287Е+03	.23669Е + 03 -.18182Е + 01 -.11909Е + 03 -.23487Е + 03	.22589Е + 03 -.12164Е + 02 -.10192Е + 03 -.22573Е + 03	-.8851Е-02 -.1000Е+01 .9998Е+00 .1770Е-01
	.23370Е + 03 -.13424Е + 02	.35913Е+03 -.14239Е+02	.24663Е+03 -.17391Е + 01	.23538Е+03 -.12554Е + 02	-.8462Е+00 -.5328Е+00
	-.10579Е + 03 -.23277Е + 03	-.16788Е+03 -.35739Е+03	-.12413Е + 03 -.24489Е + 03	-.10622Е + 03 -.23533Е + 03	-.4322Е+00 .9018Е+00
	.24315Е + 03 -.13783Е + 02 -.11011Е + 03 -.24237Е + 03	.37357Е+03 -.14667Е+02 -.17467Е+03 -.37190Е+03	.25657Е + 03 -.16667Е + 01 -.12917Е + 03 -.25490Е + 03	.24487Е + 03 -.12950Е + 02 -.11053Е + 03 -.24492Е + 03	-.9056Е+00 .4242Е+00 -.6401Е+00 -.7683Е+00
	.25260Е + 03 -.14150Е + 02 -.11443Е + 03 -.25195Е + 03	.38800Е+03 -.15100Е+02 -.18145Е+03 -.38640Е+03	.26650Е + 03 -.16000Е + 01 -.13420Е + 03 -.26490Е + 03	.25435Е + 03 -.13350Е + 02 -.11482Е + 03 -.25450Е + 03	-.1324Е+00 .9912Е+00 .9650Е+00 -.2624Е+00
	.26205Е + 03 -.14523Е + 02 -.11874Е + 03 -.26152Е + 03	.40243Е-03 -.15538Е+02 -.18823Е+03 -.40089Е+03	.27643Е + 03 -.15385Е + 01 -.13923Е + 03 -.27489Е + 03	.26383Е + 03 -.13754Е + 02 -.11912Е + 03 -.26408Е + 03	.7626Е+00 .6469Е+00 -.1630Е+00 .9866Е+00
	.27149Е + 03 -.14523Е + 02	.41686Е+03 -.15981Е+02	.28636Е + 03 -.14815Е + 01	.27331Е + 03 -.14161Е + 02	.9564Е+00 -.2921Е+00
	-.12305Е + 03 -.27109Е + 03	-.19501Е+03 -.41538Е+03	-.14426Е + 03 -.28488Е + 03	-Л2342Е+03 -.27365Е+03	-.8293Е+00 -.5588Е+00
	.28093Е + 03 -.15286Е + 02	.43129Е+03 -.16429Е+02	.29629Е + 03 -.14286Е + 01	.28279Е + 03 -.14571Е + 02	.2709Е+00 -.9626Е+00
	-.12736Е + 03 -.28064Е + 03	-.20179Е+03 -.42986Е+03	-.14929Е + 03 -.29486Е + 03	-.12771Е + 03 -.28321Е + 03	.8532Е+00 -.5216Е+00
	.29037Е + 03 -.15674Е + 02 -13166Е + 03 -.29019Е + 03	.44571Е+03 -.16879Е+02 -.20856Е+03 -.44433Е+03	.30621Е + 03 -.13793Е + 01 -.15431Е + 03 -.30483Е + 03	.29226Е + 03 -.14984Е + 02 -.13201Е + 03 -.29278Е + 03	-.6636Е+00 -.7481Е+00 .1192Е+00.9929Е+00
	.29980Е + 03 -.16067Е + 02 -.13597Е + 03 -.29973Е + 03	.46013Е+03 -.17333Е+02 -.21533Е+03 -.45880Е+03	.31613Е + 03 -.13333Е - 0l -.15933Е + 03 -.31480Е + 03	.30173Е + 03 -.15400Е + 02 -.13630Е + 03 -.30233Е + 03	-.9880Е+00 .1543Е+00 -.9524Е+00 -.3048Е+00

Список использованной литературы

 

 

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Конченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров – М.: Высшая школа, 1994 – 544 с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы – М.: Наука, 1973 – 631 с.

3. Волков Е.А. Численные методы – М.: Наука, 1987 – 256 с.

4. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практика по численным методам – М.: Высшая школа, 1979 – 184 с.

5. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. - Численные методы анализа – М.: Наука, 1967 – 368 с.

6. Калиткин Н.Н. Численные методы – М.: Наука, 1978 – 512 с.

7. Конченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах - М.: Наука, 1972 – 246 с.

8. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1989 – 372 с.

9. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике – М.: Высшая школа, 1994 – 416 с.

10. Самарский А.А. Введение в численные методы - М.: Наука, 1982 – 287 с.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы - М.: Наука, 1989 – 429 с.

12. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров - М.: Наука, 1972 – 400 с.