Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Общая теория кривых второго порядкаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка в следующем виде:
(1)
Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1).
Введем некоторые определения. Группу слагаемых a11x2+2а21xy+а22у2 назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а13х+2а23у+а33 назовем линейной частью уравнения (1). Коэффициенты а11, a12, а22 назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а13, а23, а33 — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами. Отметим, что коэффициент а33 также называется свободным членом уравнения (1).
Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х0,у0), Тогда, как известно, х=х'+х0, у=у'+у0 и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:
Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:
(2)
Тогда уравнение (*) примет вид:
(3)
Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2). Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.
х=х'соsφ-y'sinφ;
y=x'sinφ+y'cosφ; Получим:
Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:
где
, т.е. a'13=a13cosφ+a23cosφ a'23=a23cosφ-a13sinφ (4) a'33=a33 Вывод: старшие коэффициенты а'11, а'12 и а'22, выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а11, а12 и а22. Коэффициенты а'13 и а'23 выражаются только через угол φ и коэффициенты а13, а23. Коэффициенты а'33 и а33 равны. Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения: . Тогда , если А 0. Введем угол α, где ,
Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a12=(1/2)(а11—а22). Введем также угол β, считая , , если С 0. Если же С=0, т.е. а13=а23=0, то β=0. Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде: a'11=Азin(2φ+α)+В; а'12=Асоs(2φ+α); a'22=—Азin(2φ+α)+В; a'13=Csin(φ+β); (5) a'23= Ссоз(φ+β); а'33=а33. Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.
Инварианты кривой второго порядка Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция
f(а11, а12, a22, a13, а23, а33),
которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).
Теорема. Величины (6) являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота. Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что
(7)
Тогда в новой системе координат O’X’Y’ Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую, умноженную на у0. Тогда Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I'3=I3. Рассмотрим теперь преобразование поворота
Разложим I'3 по элементам 3-го столбца. Получим: = (8)
Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).
(9)
(10) (11)
Следовательно, из (8) следует, что (12) Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I'3=I3. Это и доказывает инвариантность I3. Теорема доказана.
Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3. Будем говорить, что при I2>О, уравнение (1) задает линию эллиптического типа; при I2<О, уравнение (1) задает линии гиперболического типа; при I2=О, уравнение (1) задает линии параболического типа. При параллельном переносе можно попытаться добиться того, чтобы в уравнении (3) отсутствовали члены 2а'13х' и 2а'23y'. Из формул (2) следует, что это возможно только в том случае, если система (13)
имеет решение.
Уравнения (13) называются уравнениями центра линии второго порядка. Если х0, у0 — решение (13), то точка 0'(х0,у0) — центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х0,у0) уравнение линии примет вид
(14)
Поэтому, если точка М(х',у') удовлетворяет уравнению (14), то и точка М'(—х',—у') также удовлетворяет уравнению (14). Таким образом, центр линии является ее центром симметрии.
Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I3, получаем
.
Значит, (15)
Как было показано ранее, можно повернуть систему координат ОXY таким образом, чтобы уравнение (3) не содержало
члена 2а'12х'у'. Ясно, что в этом случае а'12=0 и из формул (4) следует, что
Следовательно, при а12 0 (16) Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (3) принимает вид:
(17)
Вывод: путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (14)
путем поворота, если а12 О, приводим уравнение (14) к виду:
(17)
в системе координат О"Х"У".
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 368; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.146.255.161 (0.006 с.) |