Уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

13.1. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости перпендикулярной прямой , проходящей через .

13.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .

13.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .

13.4.Определить взаимное расположение следующих пар плоскостей (перпендикулярны, параллельны, пересекаются): 1) ;

2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

13.5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через т.

перпендикулярно двум плоскостям 2х-z+1=0 и у=0.

13.6. Установить, что три плоскости х-2у+z-7=0, 2х+у-z+2=0, х-3у+2z-11=0,

имеют одну общую точку и найти ее.

13.7. Доказать, что три плоскости 7х+4у+7z+1=0, 2х-у-z+2=0, х+2у+3z-1=0, проходят через одну прямую.

13.8.Доказать, что три плоскости 2х-у+3z-5=0, 3х+у+2z-1=0, 4х+3у+z+2=0, пересекаются по трем различным параллельным прямым.

13.9.Найти расстояние между параллельными плоскостями: 1) ;

2) ; 3) .

13.10. Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы,

образованные пересекающимися плоскостями: 1) ;

2) .

13.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения

плоскостей 2х-у+3z-5=0 и х+2у-z+2=0 параллельно вектору

13.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости х+19у-7z-11=0.

13.13. Дана прямая, составить канонические и параметрические уравнения прямой:

1) ; 2) ; 3) .

13.14. Определить взаимное расположение прямых (перпендикулярны, параллельны):

1) , ;

2) x=2t, y=3t-2, z=-6t+1 и ;

3) и .

13.15. Определить косинус угла между прямыми:

и .

13.16. Доказать, что прямые, заданные параметрически

и , пересекаются.

13.17. Доказать, что прямая x=3t-2, y=-4t+1, z=4t-5 параллельна плоскости

4x-3y-6z-5=0.

13.18. Доказать, что прямая лежит в плоскости 4x-3y+7z-7=0.

13.19. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2x+3y+z-1=0.

13.20. Найти проекцию точки Р(2,-1,3) на прямую x=3t, y=5t-7, z=2t+2.

13.21. Найти проекцию точки Р(5,2,-1) на плоскость 2x-y+3z+23=0.

13.22. Найти расстояние от точки Р(1,-1,-2) до прямой .

13.23. Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:

1) и ;

2) x=2t-4, y=-t+4, z=-2t-1 и x=4t-5, y=-3t+5, z=-5t+5.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Найти каноническую систему координат и канонический вид кривой и построить ее в канонической системе координат.

14.1. а)

б)

в)

г)

д)

14.2. а)

б)

в)

г)

д)

14.3. а)

б)

в)

г)

д)

е)

14.4. а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №3

Найти каноническое уравнение кривой и построить ее

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

Ответы на задания по матричной алгебре.

Глава 1.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1. 1) 5i+12; 2) ; 3) 5-12i; 4) 2i-2; 5) i; 6) i+1; 7) 8-2i; 8) 23-14i; 9) ;

10) ; 11) 0,8+0,6i; 12) 0,25-0,25i.

1.2. 1) 2) 3) 4) 5) 2; 6)

1.3. 1) 1 ; 2) 5 ; 3) 2 ;

4) 2 ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) 1 ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) .

1.4. 1) -1, ; 2) ; 3) , ; 4) 1, ; 5) , , ;

6) ; 7) -i, ;

8) , ; 9) , .

1.5. 1) i; 2) 32i; 3) 64; 4) –i; 5) 4- 4i; 6) 8i; 7) 8i; 8) ; 9) 1.

1.7. , , , , где .

I; 3) -1; 4) i.

1.9. а) симметрично относительно оси ох;

б) симметрично относительно начала координат;

в) на окружности радиуса с центром в начале координат, на лучах, составляющих углы , с положительным направлением оси ох.

1.10. 1) , ; 2) ; 3) 2, , , , ; 4) i+1, , ; 5) , , .

1.11. 1) 0, ; 2) , , ; 3) ki, .

1.12. точка Z лежит на прямых .

1.13. . 1.14. решений нет.

КОМБИНАТОРИКА

 

1.15. 1) 1; 2) 120; 3) 5040; 4) 56; 5) 1/7980.

1.16. 1) , 2) . 1.17. 7.

1.18. 1) 28; 2) 2380; 3) 6; 4) 17; 5) 101. 1.22. .

БИНОМ НЬЮТОНА

1.23. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) - 44i+117; 6) -32i.

1.24. 1) 6188 ; 2) 19448 ; 3) 136 ; 4) 17 .

1.26. 1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Глава 2.

МНОГОЧЛЕНЫ

2.1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

2.2. 1) ; 2) ; 3) , ; 4) .

2.3. 1) ; 2) ; 3) , ; 4) , , ; 5) , , , ; 6) , .

2.5. 1) z = - 2; 2) z = 2; 3) нет целых корней; 4) , , ; 5) z =2;

6) нет целых корней.

2.7. 1) ; 2) , .

2.10. a = -6, b= -2.

2.11. 1) k=2; 2) k=3; 3) k=4; 4) k=3.

2.12. 1) ; 2) .

2.14. 1) , a = 4, b= -10; 2) , a = -8, b= 2.

2.15. 1) ; 2) .

2.16. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.17. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Глава 3.

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

3.1. 1) ; 2) . 3.2. 1) -1; 2) ; 3) ; 4) .

3.3. . 3.4. 1) не существует; 2) ; 3) ; 4) не существует.

3.5. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.6. , т.к., если , , , .

3.7. 1) ; 2) .

3.8. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3.9. 1) Вид определяется неоднозначно, например: ;

2) .

3.10. 1) ; 2) .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

3.12. 1) 1; 2) -2; 3) -1; 4) 0; 5) -3; 6) 13.

3.14. 1) 40; 2) -3; 3) abc; 4) abc; 5) ; 6) 1; 7) -i; 8) 9i+15.

3.16. 3) Умножим элементы 1-го столбца на 10 и прибавим по 2-му столбцу.

на определитель, исходный определитель делится на 19.

3.17. 1) 1; 2) 5; 3) 0; 4) 15; 5) -2i; 6) abcd; 7) ; 8) .

Глава 4.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

4.2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.3. 1) r = 0; 2) r = 1; 3) r = 2; 4) r = 2; 5) r = 2; 6) r = 2; 7) r = 2; 8) r = 4.

4.4. матрицы с нулевыми элементами.

4.5. матрицы со всеми пропорциональными строками или столбцами, а также матрицы, имеющие одну ненулевую строку или столбец.

4.6. .

r = n (числу ненулевых элементов).

4.7. 1) возможно, не всегда; 2) возможно, выполняется не всегда;

3) возможно, выполняется не всегда; 4) возможно, выполняется не всегда;

5) возможно, выполняется не всегда; 6) возможно, выполняется всегда.

4.8. 1) (1,4,-7,7); 2) (0,0,0,0).

4.9. 1) система линейно независима; 2) система линейно независима;

3) система линейно независима; 4) система линейно зависима;

5) система линейно зависима; 6) система линейно независима.

Глава 5.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1. 1) система совместна, х =1, у =1, z =1; 2) система совместна, x = -1, y = 0, z = 1;

3) система несовместна; 4) система несовместна; 5) система совместна, 6) система совместна,

5.2. 1) общее решение: , ; частное решение: ;

ФСР: , ;

2) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: , , ;

3) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 3-1=2, , : ; , : , ;

4) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 3, , , : ; , , : , , , : ; + ;

5) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 4, , , , : ; , , , : , , , , : ; , , , : ;

+ + ;

6) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 3-1=2, , , ;

, , , .

5.3. 1) система совместная, неопределенная. Общее решение: х = (1, -С, С);

2) система совместная, неопределенная. Общее решение: .

5.4. 1) определена, , r (А) = 3; 2) несовместна, а= -3, ;

3) неопределенна а= -3, .

5.5. 1) определена, при , r (А) = 3; 2) несовместна, при а= -2;

3) неопределенна, при а= 1.

Глава 6.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

6.1. 1) , , ;

2) , , ;

3) ; 4) ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , комплексные;

8) ; ;

9) ,

10) , , ;

11) , , ;

12) , , .

6.2.

собственные значения равны диагональным элементам.

6.4.

по аналогии с 6.2.

6.5. .

6.6. 1) является; 2) не является; 3) не является; 4) является; 5) является; 6) является;

7) не является; 8) является; 9) является; 10) не является; 11) не является; 12) является;

13) является; 14) является; 15) является; 16) является; 17) не является; 18) является;

19) не является; 20) является.

Глава 7.