Элементы аналитической геометрии

1.1. Векторы. Линейные операции над векторами.

1.2. Декартова прямоугольная система координат.Деление отрезка в данном отношении.

1.3. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Направляющие косинусы.

1.4. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл векторного произведения.

1.5. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.

1.6. Необходимые и достаточные условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

1.7. Уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

1.8. Уравнения плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1. Инварианты.

2.2. Классификация по инвариантам и собственным числам.

3. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

 

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.

1. Комплексные числа.

2. Комбинаторика. Бином Ньютона

3. Многочлены.

Индивидуальное задание.

4. Матрицы, определители

5. Обратная матрица. Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов.

6. Системы линейных уравнений.

7. Собственные числа и собственные векторы. Линейные пространства.

Контрольная работа.

8. Базис. Матрица перехода. Процесс ортогонализации.

9. Матрицы операторов. Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду. Критерий Сильвестра.

10. Число и вектор Фробениуса. Продуктивность матриц.

11. Векторы. Скалярное произведение.

12. Векторное и смешанное произведение векторов.

13. Уравнения прямой на плоскости.

14. Уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

15. Кривые второго порядка.

Контрольная работа.

 

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ

В семестре проводятся две контрольные работы и индивидуальное задание, которые оцениваются в баллах. В конце семестра проводится экзамен. Баллы, полученные на экзамене и в семестре суммируются, и по их результатам выставляется оценка.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Комплексные числа. Операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
2. Формулы Муавра. Доказательство.
3. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные и квадратичные множители.
4. Матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование, обращение).
5. Определители 3-го порядка. Десять свойств определителей (доказать хотя бы одно).
6. Существование и единственность обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.
7. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
8. Линейная зависимость и независимость векторов. Примеры зависимых и независимых систем векторов.
9. Теорема Кронекера-Капелли.
10. Однородные системы. Фундаментальная система решений.
11. Метод Крамера.
12. Метод Гаусса.
13. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
14. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
15. Квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
16. Линейные операторы. Определение. Примеры.
17. Самосопряженные и сопряженные операторы.
18. Линейное пространство. Определение. Примеры.
19. Базис. Размерность пространства. Разложение вектора по базису.
20. Переход к новому базису. Матрица перехода. Связь между координатами вектора в старом и новом базисе.
21. Число и вектор Фробениуса.
22. Продуктивные матрицы. Два критерия продуктивности.
23. Скалярное произведение векторов.
24. Векторное произведение векторов.
25. Смешанное произведение векторов.
26. Прямая на плоскости (вывод уравнения). Различные виды уравнения прямой на плоскости.
27. Уравнение прямой в пространстве (вывод). Различные виды уравнения прямой в
28. Плоскость в пространстве (вывод уравнения). Различные виды уравнений плоскости.
29. Расстояние от точки до прямой в пространстве (вывод формулы).
30. Расстояние от точки до плоскости в пространстве (вывод формулы).
31. Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы. Построение кривых по каноническому уравнению.
32. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий по инвариантам и собственным числам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Солодовников А.С. и др. Математика в экономике. Ч.1. М.: Статистика и финансы, 2003.
2. Гусак А.А. Высшая математика. Т.1. Минск: ТетраСистемс, 2003.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1980.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Оникс, 2003.
5. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2004.
6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1978.

 

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1. Выполнить действия:

1.	2.
3.	4.
5. .	6. .
7.	8.
9.	10.
11.	12.

 

1.2. Решить уравнения и проверить подстановкой корней в уравнение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.3. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

1. 1.	8. –1.	15.
2. 5.	9.	16.
3. –2.	10.	17.
4.	11.	18.
5.	12.	19.
6. .	13. .	20. .
7.	14.	21.

 

1.4. Найти все значения корней:

1.	4.	7.
2.	5.	8.
3.	6.	9.

 

1.5. Вычислить:

1.	4.	7.
2.	5.	8.
3.	6.	9.

1.6. 1) Доказать, что сумма и произведение взаимно сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

2) Доказать равенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.7. Найти формулы для вычисления степеней числа i.

1.8. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.9. Как расположены на комплексной плоскости1) сопряженные числа; 2) противоположные числа; 3) корни n -ой степени?

1.10. Решить уравнения:

1.	3.	5. .
2.	4.

 

1.11.Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. .

 

1.12. Где находится точка z комплексной плоскости, если точка принадлежит мнимой оси?

1.13. Найти действительные корни уравнения

КОМБИНАТОРИКА

1.14. Найдите: 1) 0!; 2) 5!; 3) 7!; 4) ;5) .

1.15. Сократите дробь: 1) ; 2) .

1.16. Решить уравнение:

1.17. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.18. Докажите, что .

1.19. Докажите равенство:

1. ; 2. .

1.20. Докажите, что .

1.21. В некотором царстве все люди отличаются набором зубов. Каково население этого царства?

 

БИНОМ НЬЮТОНА

1.22. Разложите по биному:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. .

1.24. Найдите: 1) пятое; 2) 10; 3) 15; 4) 16 слагаемое в разложении .

1.25. Докажите, что

1) ;

2) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

1.26. Пользуясь формулой Муавра и биномом Ньютона выразить через степени и следующие функции кратных углов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

 

МНОГОЧЛЕНЫ

2.1. Разделить:

1. на ;

2. на ;

3. на ;

4. на ;

5. на ;

6. на .

2.2. Выделить целую и дробную часть рациональной функции:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

2.3. Решить уравнения:

1.

2.

3.

4.

5. ;

6.

2.4. Доказать, что целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

2.5. Найти целые корни уравнений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

2.6. Доказать, что каждый рациональный корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами представим в виде где р - делитель свободного члена, q - делитель старшего коэффициента уравнения

 

2.7. Найти рациональные корни уравнений:

1.

2.

2.8. Доказать, что если уравнение с действительными коэффициентами имеет корень то является тоже корнем этого уравнения.

2.9. Доказать, что каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень.

2.10. При каких значениях а и b число является корнем уравнения

2.11. Определить кратность корня

1.

2.

3.

4.

2.12. Найти приведенный многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются:

1. и

2. (корень кратности 2) и

2.13. Доказать, что если корни уравнения , то они связаны с коэффициентами уравнения формулами Виета:

……………………………………

.

2.14. Уравнение

1. имеет корни

2. имеет корни

Найти третий корень уравнения.

2.15. Записать уравнение, корнями которого являются:

1.

2.

2.16.Представить многочлен в виде произведения линейных множителей:

1. 2.

3. 4.

2.17.Представить многочлен в виде произведения неприводимых множителей с действительными коэффициентами:

1. 2.

3. 4.

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1