Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной формах.

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

Вычислить по формулам Муавра.

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. ,

21. , 22. ,

23. , 24. ,

25. , 26. ,

27. , 28. ,

29. , 30. ,

Выразить sin4 и cos4 через sin и cos , используя формулы Муавра и бином Ньютона.

Найти разложение по биному Ньютона

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. ,

21. , 22. ,

23. , 24. ,

25. , 26. ,

27. , 28. ,

29. , 30. ,

4. Разделить многочлен f(x) на многочлен х- по схеме Горнера

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

5. Выделить целую и дробную часть рациональной функции:

1. 2.

 

3. 4.

 

5. 6.

 

7. 8.

 

9. 10.

 

11. 12.

 

13. 14.

 

15. 16.

 

17. 18.

 

19. 20.

 

21. 22.

 

23. 24.

 

25. 26.

 

27. 28.

 

29. 30.

Разложить на линейные множители в С и неприводимые (линейные и квадратичные) множители в R. Сделать проверку.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

МАТРИЦЫ

3.1. Вычислить:

1) 2)

3.2. Вычислить:

1) 2)

3) 4)

3.3. Матрица А имеет размер , матрица С – размера . Существует ли произведение ? Каковы размеры матриц B и ABC?

 

3.4. Проверить существует ли произведение матриц, если да, то вычислить его.

1) 2)

3) 4)

3.5. Протранспонировать матрицу:

1) 2) 3) 4)

3.6. Всегда ли верно матричное тождество . Привести примеры перестановочных матриц.

3.7. Вычислить , если

1) ,

2) ,

3.8. Вычислить .

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) .

3.9. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

1) , 2) .

3.10. Найти обратные матрицы для

1) , 2) .

3.11. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов главной диагонали. Доказать, что след равен следу .

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

3.12. Вычислить определители

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) .

3.13. Доказать, что для равенства нулю определителя второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны. (коэффициент пропорциональности может быть равен 0).

3.14. Вычислить:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) .

3.15. Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

3.16. Используя свойства определителя, доказать тождества:

1)

2)

3) Числа 19, 38 делятся на 19. Не вычисляя определителя, докажите, что определитель делится на 19.

3.17. Вычислить:

1) 2) 3)

 

4) 5) 6)

7) 8) .

Вычислить 1) и 2) методом Гаусса.

 

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

4.1. Доказать, что

4.2. Найти обратные матрицы и сделать проверку ():

1. 2. 3. 4.

РАНГ МАТРИЦЫ

4.3. Найти ранг матриц:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

4.4. Дать описание всех матриц ранга 0.

4.5. Дать описание всех матриц ранга 1.

4.6. Доказать, что ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля.

4.7. Указать, какие из следующих соотношений возможны. Какие верны для произвольной пары матриц?

1. r(A+B)=r(A);

2. r(A+B)=max(r(A),r(B));

3. r(A+B)=min(r(A),r(B));

4. r(A+B)=r(A)+r(B);

5. r(A+B)<r(A)+r(B);

6. r(A+B) r(A)+r(B).

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

4.8. Найти линейную комбинацию векторов:

1.

2.

4.9. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

4.10. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

4.11. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

4.12. Доказать, что если часть системы векторов, линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

 

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

1. Доказать теорему Виета для кубического уравнения:

2. Доказать, что если уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то и тоже является корнем этого уравнения.

3. Доказать теорему Виета для уравнения четвертой степени:

4. Доказать, что целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

5.Доказать, что каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

6. Используя формулу Муавра, бином Ньютона, и равенство комплексных чисел, выразить sin 4 x через cos x и sin x.

7. Найти сумму биноминальных коэффициентов, т.е.

8. Вычислить:

9.Дана невырожденная матрица А. Найти определитель обратной матрицы, если известно, что

10. Доказать единственность обратной матрицы для невырожденной матрицы.

11. Доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной.

12. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

13. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

14. Доказать, что система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, линейно зависима.

15. Доказать, что

16. Доказать, что

17. Доказать, что если векторы линейно зависимы, то определитель

18. Доказать, что если корень многочлена, , то остаток от деления многочлена на равен 0.

19. Вычислить

20. Доказать, для матриц второго порядка, что

21. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов главной диагонали.

Доказать, что .

22. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов главной диагонали.

Доказать, что .

23. Доказать, что если многочлен с действительными коэффициентами имеет корень то он делится (без остатка) на многочлен

24. Используя формулу Муавра, бином Ньютона и равенство комплексных чисел выразить cos 4x через cos x и sin x.

25. Доказать, что

26. Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

27. Справедливо ли тождество

28. Числа 105, 147, 189 делятся на 21. Объясните без вычислений, почему определитель делится на 21.

29. Справедливо ли матричное тождество:

(для матриц 2-го порядка).

30. Справедливо ли матричное тождество:

(для матриц 2-го порядка).

31. Справедливо ли матричное тождество:

(для матриц 2-го порядка).

32. Доказать, что для любых трех линейно независимых векторов, векторы и - линейно независимы.

33. Как изменится определитель, если все элементы в нем заменить на сопряженные?

34.Вычислить f(4), пользуясь схемой Горнера и теоремой Безу

35. Доказать, что если два многочлена f(x) и g(x), степени которых не меньше n, имеют равные значения при (n+1) значении аргументов, то эти многочлены равны.

 

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1. Доказать совместность и найти решение систем линейных уравнений:

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) методом обратной матрицы.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

5.2. Найти общее решение, фундаментальную систему уравнений и одно частное решение однородных систем линейных уравнений.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

5.3. Исследовать на совместность и найти решения систем:

1) 2)

5.4. Определить при каких а и в система :

1) определена;

2) несовместна;

3) не определена.

5.5. Определить при каких а система : 1) определена;

2) несовместна;

3) не определена.

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

1.Найти определитель: а) разложением по строке (столбцу);

б) методом Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

 

29. 30.

2. Доказать совместность и решить: 1) методом Гаусса;

2) методом Крамера;

Матричным методом.

Сделать проверку.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.